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第一章 数列
§1 数列
1.2 数列的函数特性
课程内容标准 学科素养凝练
1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念.
2.掌握判断数列增减性的方法.
3.利用数列的增减性求最大值、最小值. 1.通过对数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养.
2.通过对数列增减性的研究培养逻辑推理的核心素养.
数列的增减性
1.数列的函数特性
数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有______、______和_______.
列表法
图象法
解析法
2.数列的增减性
名称 定义 判断方法
递增
数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项
递减
数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项
常数列 各项都_____
大于
相等
小于
×
×
√
解析
(1)不正确，如f(x)=x-2的图象是一条直线，而an=n-2的图象是直线y=x-2上一些孤立的点；(2)正确；
(3)不正确，因为an+1=an+1>an，所以数列｛an｝是递增数列.
B
2.(教材习题改编)在数列｛an｝中，an=-n+1，则｛an｝是(　　)
A.递增数列　　　　　　　 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
解析
an+1-an=［-(n+1)+1］-(-n+1)=-1<0，故an+13.若数列｛an｝为递增数列，其通项公式为an=kn-2，则实数k的取值范围是_______.
答案 (0，+∞)
解析
由题意知an+1-an=［k(n+1)-2］-(kn-2)=k>0，即实数k的取值范围是(0，+∞).
4.(多空题)有下列数列：①1，2，22，23，…；②1，0.5，0.52，0.53，…；③7，7，7，7，…；④-2，2，-2，2，-2，….其中，______是递增数列，______是递减数列，_____是摆动数列，____是常数列.(填序号)
答案 ① ② ④ ③
探究一　数列的图象
［知能解读］　数列与函数的关系
　　从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)，描点画图，就可以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝)，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的.
解
［训练1］　已知数列｛an｝的通项公式为an=2n-1，作出该数列的图象并判断该数列的增减性.
解
分别取n=1，2，3，…，得到点(1，1)，(2，3)，(3，5)，…，描点作出图象，如图所示.该数列的图象是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.
由图象可知该数列为递增数列.
探究二　数列的增减性
［知能解读］　判断数列增减性的方法
(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立，则数列｛an｝是递增数列；
②若an+1-an<0恒成立，则数列｛an｝是递减数列；
③若an+1-an=0恒成立，则数列｛an｝是常数列.
解
解
解
C
C
(2)设an=-n2+2λn(n为正整数)，若｛an｝是递减数列，则λ的取值范围为 (　　)
解析
解析
证明
解
解
解
解
［变式2］　(变结论)在本例中，若n的取值范围是n∈N+，且n≤10，求数列｛an｝的最小项.
解
解
B
解析
D
2.已知数列｛an｝的通项公式为an=n2(n∈N+)，则数列｛an｝的图象是 (　　)
A.一条直线 B.一条抛物线
C.一个圆 D.一群孤立的点
解析
因为n∈N+，所以an=n2的图象是一群孤立的点.
A
3.已知an+1-an-3=0，n∈N+，则数列｛an｝是 (　　)
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
解析
an+1=an+3>an，n∈N+，即从第2项起，每一项都大于它的前一项，故数列｛an｝是递增数列.
4.已知数列｛an｝的通项公式为an=n2-8n+15，则数列｛an｝中第______项最小.
答案 4
解析
因为an=n2-8n+15=(n-4)2-1，所以第4项最小.

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