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第一章 数列
§4 数列的应用
4.1 数列在日常经济生活中的应用
4.2 数列的其他应用
课程内容标准 学科素养凝练
1.掌握单利、复利的概念.
2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用.
3.掌握数列在日常经济生活中的应用. 1.通过数列在日常生活中的应用提升数学建模的核心素养.
2.通过数列在经济生活中的应用提升数学运算的核心素养.
一、三种常见的应用模型
1.零存整取：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部______，这是整取.规定每次存入的钱不计复利.
2.定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的_______.
3.分期付款：分期付款是购物的一种付款方式，即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清.
本利和
本利和
二、常用公式
1.复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S=_______.
2.产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y=________.
3.单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S=________.
P(1+r)n
N(1+r)x
P(1+nr)
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息. ( )
(2)定期自动转存模型是等差数列. ( )
(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价.( )
×
×
×
C
2.现存入银行10 000元定期存款，存期1年，年利率是1.5%，那么按照复利，5年后本利和是 (　　)
A.10 000×1.0153元
B.10 000×1.0154元
C.10 000×1.0155元
D.10 000×1.0156元
解析
由复利公式得S=10 000×(1+1.5%)5=10 000×1.0155.
C
3.(教材习题改编)小雷2019年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.5%，到2020年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息450元，则小雷存入银行的本金为(　　)
A.10 000元　　　　 B.20 000元
C.30 000元 D.40 000元
解析
设小雷存入银行的本金为x元，则x×1.5%=450，解得x=30 000.
4.小明存入银行5万元定期存款，存期1年，年利率为1.5%，那么10年后共得本利和为_______万元.(精确到0.001)
答案 5.803
解析
10年后的本利和：a10=5×(1+0.015)10≈5.803(万元).
探究一　等差数列模型
某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少元？
解
因为购房时付150万元，所以欠款1 000万元，依题意分20次付款，每次付款的数额顺次构成数列｛an｝.
a1=50+1 000×1%=60，
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5，
a3=50+(1 000-50×2)×1%=59，
a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5，
…
解
［方法总结］　
(1)按单利计算公式
单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息=本金×利率×存期.
(2)按单利分期付款问题的三个关键问题
①规定多少时间内付清全部款额.
②在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同.
③规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式.
［训练1］　某人从1月起每月1日存入100元，到第2年1月1日取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计算，那么实际取出多少元？
解
实际取出的钱等于本金+利息.
到第2年1月1日取款时，
第1个月存款利息：100×12×0.165%，
第2个月存款利息：100×11×0.165%，
…
第11个月存款利息：100×2×0.165%，
第12个月存款利息：100×1×0.165%，
解
探究二　等比数列模型
张叔叔打算以一年定期的方式存款，计划从2020年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2030年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？
思路分析：每年年初存入的a元的本利和组成等比数列，将问题转化为求等比数列前n项和问题.
解
［训练2］　某企业年初向银行贷款20万元，银行贷款的年利率为10%，按复利计息(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归还，则每年应还多少万元？(参考数据：1.110≈2.594)
解
解
探究三　生活中的数列问题
［知能解读］　复利与单利的区别
(1)等差、等比数列的应用题常见问题
产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题.
(2)存款、贷款中的单利与复利问题
①复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.
②单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列.
某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元.两种方案，使用期限都是10年，到期一次性归还本息，若银行贷款的年利率为10%，按复利计息，比较两种方案，哪个获利更多？(精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.786)
解
解
［变式1］　(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润；丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元.两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案的年利率均为2%，按复利计息.试比较两种方案，哪种方案净获利更多？(参考数据：1.259≈7.45，1.2510≈9.31，1.029≈1.20，1.0210 ≈1.22)
解
［变式2］　(变结论)在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值.(参考数据：1.314≈39.374，1.315≈51.186，1.114≈3.797，1.115≈4.177)
解
解
［方法总结］　将实际问题转化为数列问题时应注意
(1)分清是等差数列还是等比数列.
(2)分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n.
(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式.
C
解析
C
2.某钢厂的年产值由2009年的40万吨，增加到2019年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，那么该钢厂2029年的年产值将接近(　　)
A.60万吨 B.61万吨
C.63万吨 D.64万吨
解析
3.1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池.如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？
解

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