资源简介

(共45张PPT)
第一章 数列
§3 等比数列
3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
课程内容标准 学科素养凝练
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.
2.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养.
2.在运用等比数列前n项和公式的过程中提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
一、等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和
公式
二、等比数列前n项和公式的推导
对首项为a1、公比为q(q≠0)的等比数列｛an｝，
设Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，①
则qSn=_____________________，②
①-②，得________________.
a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn
(1-q)Sn=a1-a1qn
当q≠1时，Sn=__________.
又因为an=a1qn-1，所以上式还可以写成Sn=__________.
当q=1时，Sn=____.


na1
×
×
√
√
D
2.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=4，那么S10等于 (　　)
A.210+2　　　　　　 B.29-2
C.210-2 D.211-2
解析
A
3.(教材习题改编)在等比数列｛an｝中，公比q=-2，S5=44，则a1的值为 (　　)
A.4 B.-4
C.2 D.-2
解析
4.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若q=2，S100=36，则a1+a3+…
+a99=_______.
答案 12
解析
设a1+a3+…+a99=S，则a2+a4+…+a100=2S.
∵S100=36，∴3S=36.
∴S=12，即a1+a3+a5+…+a99=12.
探究一　利用等比数列前n项和公式计算基本量
在等比数列｛an｝中，a1=2，S3=6，求a3和q.
思路分析：讨论公比q是否为1，利用前n项和公式，求出公比，进而求出a3.
解
［训练1］　(2025·全国新高考卷Ⅰ)若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_____.
答案 2
解析
解析
［训练3］　在等比数列｛an｝中，若Sn=189，q=2，
an=96，求a1和n.
解
A
(1)等比数列｛an｝的前n项和为Sn，S2=7，S6=91，则S4为 (　　)
A.28　　　　　　　 B.32
C.21 D.28或-21
(2)在等比数列｛an｝中，公比q=3，S80=32，则a2+a4+a6+…+a80
=_______.
答案 24
解析
(1) ∵｛an｝为等比数列，
∴S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，
即7，S4-7，91-S4为等比数列.
∴(S4-7)2=7(91-S4)，解得S4=28或S4=-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2，
∴S4=28.
解析
A
解析
B
解析
［训练6］　一个项数为偶数的等比数列｛an｝，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式.
解
探究三　等比数列前n项和的实际应用
某商场2024年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从2024年起，大约几年可使总销售量达到30 000台？(参考数据：lg 1.6≈0.2，lg 1.1≈0.04)
思路分析：问题可转化为首项为5 000、公比为1.1的等比数列前n项和问题.
解
［方法总结］　解答数列应用题的步骤
　　对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路理清晰后再着手解题.要注意：
(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型.
(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释.
(3)实际问题解答完成后一定要有结论.
B
［训练7］　我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 (　　)
A.1盏　　　　　　　 B.3盏
C.5盏 D.9盏
解析
D
1.正项等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1=3，a2a4=144，则S10= (　　)
A.511　　　　　　　 B.1 023
C.1 533 D.3 069
解析
C
解析
3.在等比数列｛an｝中，前5项和S5=10，前10项和S10=50，则它的前15项和S15=______.
答案 210
解析
由等比数列的性质知S5，S10-S5，S15-S10成等比数列.
又S5=10，S10-S5=40，所以S15-S10=160.
所以S15=S5+(S10-S5)+(S15-S10)=210.
4.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an，Sn.
解析

展开更多......

收起↑