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第一章 数列
§3 等比数列
3.2 等比数列的前n项和
第2课时 数列求和
课程内容标准 学科素养凝练
1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.
2.掌握数列求和的基本方法. 1.通过求解数列的前n项和培养数学运算的核心素养.
2.通过学习数列求和的方法提升逻辑推理的核心素养.
探究一　分组求和法
已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
(1)求｛an｝的通项公式；
(2)设cn=an+bn，求数列｛cn｝的前n项和.
解
解
［方法总结］　分组求和法的应用条件和解题步骤
(1)应用条件
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成.
(2)解题步骤
解
解
探究二　错位相减法
［知能解读］　错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法.
(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若｛bn｝是公差d≠0的等差数列，｛cn｝是公比q≠1的等比数列，求数列｛bn·cn｝的前n项和Sn时，可以用这种方法.
已知数列｛an｝是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12.
(1)求数列｛an｝的通项公式；
(2)令bn=an·3n，求数列｛bn｝的前n项和.
思路分析：(1)通过前3项和并结合首项求出公差，确定数列｛an｝的通项公式；(2)由数列｛bn｝的通项公式的结构形式，可考虑错位相减法求和.
解
［方法总结］　应用错位相减法的注意事项
(1)在写出Sn与qSn的表达式时，应使两式对齐，便于作差，正确写出(1-q)Sn的表达式.
(2)要讨论公比q是否等于1的情况.
［训练2］　(2024·全国卷甲理)记Sn为数列｛an｝的前n项和，已知4Sn=3an+4.
(1)求｛an｝的通项公式；
(2)设bn=(-1)n-1nan，求数列｛bn｝的前n项和Tn.
解
(1)因为4Sn=3an+4，①
所以当n≥2时，4Sn-1=3an-1+4，②
则当n≥2时，①-②得4an=3an-3an-1，即an=-3an-1.
当n=1时，由4Sn=3an+4得4a1=3a1+4，所以a1=4≠0，
所以数列｛an｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，
所以an=4×(-3)n-1.
解
探究三　裂项相消法
［知能解读］　裂项相消法
(1)数列中的每一项拆分成前后可以相互抵消的两项之差的求和方法， 叫裂项相消法.
(2)常见的裂项方法(其中n为正整数).
解
解
解
［方法总结］　利用裂项相消法求和时，应注意：(1)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
解
解
B
1.1002-992+982-972+…+22-12的值是 (　　)
A.5 000　　　　　　　　 B.5 050
C.10 100 D.20 200
解析
A
解析
C
3.数列｛an｝的通项an=n·2n，则数列｛an｝的前n项和Sn为 (　　)
A.n·2n+1 B.n·2n+1-2
C.(n-1)·2n+1+2 D.n·2n+1+2
解析
4.数列｛an｝，｛bn｝满足anbn=1，an=n2+3n+2，则｛bn｝的前10项和为______.
解析
解

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