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第一章 数列
*§5 数学归纳法
课程内容标准 学科素养凝练
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 在学习数学归纳法的过程中达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.
一、数学归纳法
　　数学归纳法是用来证明某些与________有关的数学命题的一种方法.
二、数学归纳法的证明步骤
(1)(归纳奠基)证明：当n取___________ (n0∈N+)时，命题成立；
(2)(归纳递推)假设n=k(k∈N+，k≥n0)时命题成立，证明当_______时命题也成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
正整数n
第一个值n0
n=k+1
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. ( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( )
×
×
√
C
解析
凸n边形边数最小是三角形，故第一步检验n=3.
3.如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，那么用数学归纳法证明时应先证n=_____成立.
答案 2
探究一　用数学归纳法证明等式
［知能解读］　数学归纳法证题的三个关键点
(1)验证是基础
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键
数学归纳法的实质是递推，分析从n=k到n=k+1的过程中，式子项数的变化，关键是弄清等式两边的构成规律，即从n=k到n=k+1，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.
(3)利用假设是核心
在第二步证明n=k+1成立时，一定要利用归纳假设，即把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件.在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
用数学归纳法证明：1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N+).
证明
当n=1时，左边=1×4=4，右边=1×22=4，左边=右边，等式成立.
假设当n=k(k∈N+)时等式成立，即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2成立.
那么，当n=k+1时，
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)［3(k+1)+1］
=k(k+1)2+(k+1)［3(k+1)+1］=(k+1)(k2+4k+4) =(k+1)［(k+1)+1］2，
即当n=k+1时等式也成立.
综上，可知等式对任何n∈N+都成立.
［方法总结］　用数学归纳法证明等式的方法
证明
探究二　归纳—猜想—证明
［知能解读］　“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和.
(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.
(3)给出一些简单的命题(n=1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
解
证明
证明
［方法总结］　“归纳—猜想—证明”的一般环节
［训练2］　设数列｛an｝满足a1=3，an+1=3an-4n.
(1)计算a2，a3，猜想｛an｝的通项公式并加以证明；
(2)求数列｛2nan｝的前n项和Sn.
解
(1)a2=5，a3=7.
猜想an=2n+1.
证明：当n=1时，显然成立.
假设当n=k(k∈N+)时，ak=2k+1成立，
则当n=k+1时，ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1，
故n=k+1时也成立.
综上可知，｛an｝的通项公式为an=2n+1.
解
(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n，
所以Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n. ①
从而2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1. ②
①-②，得
-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.
所以Sn=(2n-1)2n+1+2.
证明
证明
证明
解
C
解析
D
解析
解析
4.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an(n∈N+).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_______.
解析
解
证明

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