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第二章 导数及其应用
§5 简单复合函数的求导法则
课程内容标准 学科素养凝练
1.了解复合函数的概念.
2.掌握复合函数的求导法则.
3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数. 1.在运用复合函数求导公式解题过程中提升数学抽象和数学运算的核心素养.
2.在解决实际问题的过程中培养数学建模的核心素养.
一、复合函数的概念
　　一般地，对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成________，称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的________，记作_______，其中u为中间变量.
二、复合函数的求导法则
　　复合函数y=f(φ(x))对x的导数为 y'x=［f(φ(x))］'=___________，其中，u=φ(x).
x的函数
复合函数
y=f(φ(x))
f'(u)φ'(x)
×
×
√
√
A
2.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 (　 　)
A.y=un，u=x2-1
B.y=(u-1)n，u=x2
C.y=tn，t=(x2-1)n
D.y=(t-1)n，t=x2-1
D
3.已知函数f(x)=(2x-1)2的导数为f'(x)，则f'(1)= (　　)
A.1　　　　　　　　　B.2
C.3 D.4
解析
f'(x)=2(2x-1)×2=8x-4，
则f'(1)=8×1-4=4.
解析
探究一　复合函数导数运算
［知能解读］　
(1)利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤
①适当选取中间变量分解复合函数为初等函数.
②求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数.
(2)求复合函数的导数的注意点
①内、外层函数通常为基本初等函数.
②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点.
解
解
［训练1］　求下列函数的导数：
(1)y=(x2-4)2；
(2)y=log2(2x2+3x+1)；
(3)y=esin(ax+b).
解
解
解
解
D
1.设函数f(x)=(1-2x)10，则f'(1)= (　　)
A.0　　　　　　　　　B.-1
C.-20 D.20
解析
因为f'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9，所以f'(1)=20.
2.已知函数y=eax+b，则y'=_______.
答案 aeax+b
解析
y=eax+b可由y=eu和u=ax+b复合而成，从而y'x=y'uu'x=eu·a=aeax+b.
答案 2(ex+1)
解析
解

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