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第二章 导数及其应用
§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
课程内容标准 学科素养凝练
1.理解导数的概念及导数的几何意义.
2.会求导数及理解导数的实际意义.
3.掌握利用导数求切线方程的方法. 1.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养.
2.通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心素养.
固定的值
斜率
2.切线的定义
当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于____，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y=f(x)在___处相切.
3.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0)，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的__________.
点A
点A
切线的斜率
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx值的正、负无关. ( )
(2)函数在x0处的导数f'(x0)与x0和Δx都有关. ( )
(3)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( )
(4)函数f(x)=0没有导函数. ( )
(5)f'(x0)与［f(x0)］'表示的意义相同. ( )
(6)若f'(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在. ( )
√
×
×
×
×
×
A
解析
由f(x)在x=1处的导数的定义知，应选A.
A
3.若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x-y+1=0，则 (　　)
A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0
C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在
解析
由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以f'(x0)>0.
4.由导数的定义可求得，函数f(x)=x2-2x在x=1处的导数 f'(1)=_________ .
答案 0
解析
A
解析
解
［训练1］　求函数f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.
解
解
探究二　导数的应用
若一物体运动方程(位移s的单位：m，时间t的单位：s)如下：
求：(1)物体在t∈［3，5］内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
解
解
［方法总结］　在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；求某一时刻的瞬时速度时，Δt是时间间隔，Δt趋于0，可任意小，但Δt不等于0.
解
解
探究三　导数的几何意义
［知能解读］　利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量.
已知曲线f(x)=x2.
(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(3，5)的切线方程.
思路分析：(1)根据导数的定义及其几何意义，求出函数在对应点的导数，即求出切线斜率，再利用点斜式求切线方程；(2)设切点坐标，先求出曲线在切点处的导数，再利用斜率公式求出直线斜率，根据导数几何意义建立方程组求解.
解
解
解
当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1=2x0=2，此时切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0；
当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2=2x0=10，此时切线方程为y-25=10(x-5)，即10x-y-25=0.
综上，过点P(3，5)的切线方程为
2x-y-1=0或10x-y-25=0.
［训练4］　已知曲线y=2x2-7.
(1)曲线上在哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0？
(2)求曲线过点P(3，9)的切线方程.
解
解
A
1.若曲线y=f(x)上在点(1，3)处的切线过点(0，2)，则有(　　)
A.f'(1)>0　　　　　　 B.f'(1)=0
C.f'(1)<0 D.f'(1)不存在
解析
B
2.若曲线y=h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则 (　　)
A.h'(a)=0 B.h'(a)<0
C.h'(a)>0 D.h'(a)不确定
解析
由2x+y+1=0，得y=-2x-1，由导数的几何意义知h'(a)=-2<0.
B
3.函数y=f(x)=3x+1在点x=2处的瞬时变化率是(　　)
A.2　　　　B.3 C.4　　　　D.5
解析
解析
答案 ±2
解析

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