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第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
课程内容标准 学科素养凝练
1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率.
2.知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量. 1.通过变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养直观想象和数学抽象的核心素养.
2.借助求简单函数的平均变化率的学习，提升数学运算的核心素养.

x2-x1
f(x2)-f(x1)
改变量
Δy
函数值
自变量
快慢
改变量
Δx


点x0
某一点处
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)已知函数f(x)=x2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41. ( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间［x1，x2］上变化快慢的物理量. ( )
(3)在计算平均变化率时，Δx，Δy都不可能为零. ( )
(4)在求平均变化率时，自变量的增量Δx可以取任意实数. ( )
√
×
×
×
D
2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数值的改变量Δy= (　 　)
A.f(x0+Δx)　　　　 B.f(x0)+Δx
C.f(x0)Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)
A
解析
4.一质点的运动规律是s=t2+3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t=1 s时的瞬时速度估计是_______m/s.
答案 2
解析
解
解

探究二　平均变化率的实际应用
甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如右图所示，试比较两人的速度，哪个快？
解
B
［训练2］　某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如右图所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是 (　　 )
A.甲的日产量大于乙的日产量
B.甲的日产量小于乙的日产量
C.甲的日产量等于乙的日产量
D.无法判定甲的日产量与乙的日产量的大小
解析
由平均变化率的几何意义可知，当接近t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量.
(2)“Δx趋于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
质点P的运动方程为s=8-3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s).
(1)求质点P在［1，1+Δt］这段时间内的平均速度；
(2)求质点P在t=1时的瞬时速度.
解
解
B
1.一物体的运动方程是s=3+2t，则在［2，2.1］这段时间内的平均速度是 (　　)
A.0.41　 　B.2　　 C.0.3　　 D.0.2
解析
C
解析
由平均变化率的概念知C正确.
解析

4.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0，f(x0))处的瞬时速度为-8，则点M的坐标为_______.
答案 (-2，9)
解析
5.质点P按规律s(t)=at2+1做直线运动(s的单位：m，t的单位：s).若质点P在t=2时的瞬时速度为8 m/s，求a的值.
解

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