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第二章 导数及其应用
§3 导数的计算
课程内容标准 学科素养凝练
通过运用基本初等函数导数公式解决简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
导函数
二、常见函数的导数
导数公式表
函数 导数
y=c(c是常数) _______
y=xα(α为实数) _________
y=ax(a>0，a≠1) y'=_____，
特别地(ex)'=___
y'=0
y'=αxα-1
axln a
ex
函数 导数
y=logax(a>0，a≠1)
y'=_______，
特别地(ln x)'=____
y=sin x y'=_____
y=cos x y'=_______
y=tan x
y'=_______

cos x
-sin x


1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)常数函数的导数是它本身. ( )
(2)指数函数的导数还是指数函数. ( )
(3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数. ( )
×
×
×
C
解析
ABC
4.若f(x)=10x，则f'(1)=______.
答案 10ln 10
解析
∵f'(x)=10xln 10，
∴f'(1)=10ln 10.
5.曲线y=x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是_______.
答案 (0，0)
解析
y'=3x2，若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k=0.
由3x2=0得x=0，故y=0，即切点为(0，0).
探究一　用求导公式求函数的导数
［知能解读］　关于几个基本初等函数导数公式的特点
(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”.
(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数.
(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数.
解
ABC
解析
探究二　利用导数公式求切线方程
求曲线y=ln x在点P(e，1)处的切线方程.
解
［变式1］　求曲线y=ln x过点O(0，0)的切线.
解
［变式2］　若方程ln x=mx恰有一个根，求m的取值范围.
解
解
解析
解
设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1=cos x0，k2=-sin x0.
若两条切线互相垂直，则cos x0(-sin x0)=-1，即sin x0cos x0=1，也就是sin 2x0=2，这是不可能的.
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
解
D
1.已知f(x)=x3，则f'(2)= (　　)
A.0　　　 B.3x2　　　 C.8　　　 D.12
解析
∵f'(x)=3x2，
∴f'(2)=3×22=12.
B
解析
解析
4.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_______.
解析
解

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