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第二章 导数及其应用
§6 用导数研究函数的性质
6.3 函数的最值
课程内容标准 学科素养凝练
1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与单调性、最大(小)值的关系. 1.在求函数最值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.在研究导数、单调性、最值的关系中提升数学抽象和逻辑推理的核心素养.
一、最值点
1.最大值点
函数y=f(x)在区间［a，b］内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_______f(x0).
2.最小值点
函数y=f(x)在区间［a，b］内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_______f(x0).
不超过
不小于
二、最值
　　最大(小)值或者在____________________________取得，或者在
____________取得.因此，要想求函数的最大(小)值，一般首先求出函数导数的零点，然后将所有导数零点与区间端点的_______进行比较，其中_____________即为函数的最大(小)值.
极大(小)值点(也是导数的零点)
区间的端点
函数值
最大(小)的值
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)闭区间上的连续函数一定有最值.( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值.( )
(3)极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. ( )
(4)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值. ( )
√
√
√
×
B
2.函数f(x)=4x-x4在x∈［-1，2］上的最大值、最小值分别是 (　　)
A.f(1)与f(-1)　　　 B.f(1)与f(2)
C.f(-1)与f(2) D.f(2)与f(-1)
解析
　f'(x)=4-4x3，由f'(x)>0，即4-4x3>0，解得x<1；由f'(x)<0得x>1.
∴f(x)在(-1，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减.
∴f(x)=4x-x4在x=1处取得极大值，且f(1)=3.又f(-1)=-5，f(2)=-8，
∴f(x)=4x-x4在［-1，2］上的最大值为f(1)，最小值为f(2).
A
3.函数f(x)=2x-cos x在(-∞，+∞)上 (　　)
A.无最值 B.有极值
C.有最大值 D.有最小值
解析
f'(x)=2+sin x>0恒成立，
所以f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，无极值，也无最值.
解析
探究一　求函数在闭区间上的最值
［知能解读］
(1)对函数最大(小)值的认识
①闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.
②函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
(2)函数最值与极值的区别与联系
①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
②函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极大(小)值可以有多个，但最大(小)值只能有一个.
③极值只能在区间内取得，最值可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值.极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值.
解
(1)∵f(x)=x3-3x2-9x+5，x∈［-2，4］，
∴f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
令f'(x)=0，得x1=-1，x2=3.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x -2 (-2，
-1) -1 (-1，3) 3 (3，4) 4
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 3 ↗ 极大
值10 ↘ 极小值
-22 ↗ -15
解
解
∴当x=0时，f(x)有最小值f(0)=0；
当x=2π时，f(x)有最大值f(2π)=π.
B
［训练1］　函数f(x)=ln x-x在区间(0，e］上的最大值为 (　　)
A.1-e　　　　　　　 B.-1
C.-e D.0
解析
解
探究二　由函数的最值求参数的值(范围)
已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，是否存在实数a，b，使f(x)在［-1，2］上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
思路分析：利用导数求出f(x)的最值(用a，b表示)，列方程求a，b的值.
解
显然a≠0，f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)，令f'(x)=0，解得x1=0，x2=4(舍去).
①若a>0，则当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x -1 (-1，0) 0 (0，2) 2
f'(x) + 0 -
f(x) -7a+b ↗ 极大值 ↘ -16a+b
∴当x=0时，f(x)取得极大值也是最大值.
∴b=3.
解
又f(2)=-16a+3，f(-1)=-7a+3，f(-1)>f(2)，
∴当x=2时，f(x)取得最小值，即-16a+3=-29，解得a=2.
②若a<0，则当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x -1 (-1，0) 0 (0，2) 2
f'(x) - 0 +
f(x) -7a+b ↘ 极小值 ↗ -16a+b
解
∴当x=0时，f(x)取得极小值也是最小值.
∴b=-29.
又f(2)=-16a-29，f(-1)=-7a-29，f(2)>f(-1)，
∴当x=2时，f(x)取得最大值，即-16a-29=3，解得a=-2.
综上，a=2，b=3或a=-2，b=-29.
解
探究三　与最值有关的恒成立问题
［知能解读］　解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.
如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.
如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可.
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参数不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.
设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈［0，3］，都有f(x)解
(1)f'(x)=6x2+6ax+3b.
因为函数f(x)在x=1及x=2处取得极值，
所以f'(1)=0，f'(2)=0，
经检验，a=-3，b=4符合题意，
所以a的值为-3，b的值为4.
解
(2)由(1)可知，f(x)=2x3-9x2+12x+8c，
f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
当x∈(0，1)时，f'(x)>0；当x∈(1，2)时，f'(x)<0；当x∈(2，3)时，f'(x)>0.
所以当x=1时，f(x)取极大值f(1)=5+8c.
又f(0)=8c，f(3)=9+8c，
所以当x∈［0，3］时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
因为对于任意的x∈［0，3］，都有f(x)所以c2-8c-9>0.所以c>9或c<-1，
所以c的取值范围是(-∞，-1)∪(9，+∞).
［变式1］　若本例中“x∈［0，3］”变为“x∈(0，3)”，仍有f(x)解
由本例解析知f(x)所以9+8c≤c2，解得c≤-1或c≥9，
所以c的取值范围是(-∞，-1］∪［9，+∞).
［变式2］　本例中，把“f(x)c2”，求c的取值范围.
解
由本例解析知f(x)在［0，3］上的最小值为f(0)与f(2)中的一个.
因为f(0)=8c，f(2)=4+8c，
所以f(x)≥f(0)=8c.
所以c2<8c，解得0所以c的取值范围是(0，8).
［方法总结］　不等式恒成立问题常用的解题方法
［训练4］　设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R，t>0).
(1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)在(1)的条件下，若h(t)<-2t+m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.
解
(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R，t>0)，
∴当x=-t时，f(x)的最小值为f(-t)=-t3+t-1，
即h(t)=-t3+t-1.
(2)令g(t)=h(t)-(-2t)=-t3+3t-1，
由g'(t)=-3t2+3=0及t>0，得t=1.
当t变化时，g'(t)，g(t)的变化情况如下表：
解
t (0，1) 1 (1，2)
g'(t) + 0 -
g(t) ↗ 极大值 ↘
由上表可知当t=1时，g(t)有极大值g(1)=1，
又在定义域(0，2)内，g(t)有唯一的极值点，
∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0，2)内的最大值g(t)max=1.
h(t)<-2t+m在(0，2)内恒成立，即g(t)当且仅当g(t)max=11时上式成立，∴实数m的取值范围是(1，+∞).
解析
因为M=m，所以函数y=f(x)是常数函数.故f'(x)=0.
A
1.函数y=f(x)在区间［a，b］上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f'(x) (　　)
A.等于0　　　　　　 B.大于0
C.小于0 D.以上都有可能
A
解析
解析
解析
5.已知a为实数，f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)求导数f'(x)；
(2)若f'(-1)=0，求f(x)在［-2，2］上的最大值和最小值.
解
解

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