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第二章 导数及其应用
§7 导数的应用
7.1 实际问题中导数的意义
课程内容标准 学科素养凝练
1.了解实际问题中导数的意义.
2.利用导数解决一些实际问题. 1.通过利用导数解决实际问题，培养数学建模的核心素养.
2.在运用导数解决实际问题中达成逻辑推理、数学运算的核心素养.
一、导数的实际意义
1.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是____关于____的导数，线密度是____关于____的导数，功率是___关于_____的导数等.
2.在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加_____个单位的成本.
路程
时间
质量
长度
功
时间
f'(x0)
二、实际问题中常用的导数意义
自变量x 原函数f(x) 导函数f'(x)
_____ 路程 速度
长度 质量 线密度
时间 功 ______
时间 降雨量 ___________
产量 生产成本 __________
时间
功率
降雨强度
边际成本
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)已知函数y=f(x)，x∈R，则f'(x0)表示函数值y在x=x0的瞬时变化率. ( )
(2)一质点从固定点A开始运动，位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y=s(t)=2t3+4.当t=3时，物体的加速度a(3)=36 m/s2. ( )
(3)球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为9π. ( )
√
√
×
B
2.一质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v=v(t)，则v'(1)表示(　　)
A.t=1 s时的速度
B.t=1 s时的加速度
C.t=1 s时的位移
D.t=1 s的平均速度
解析
v(t)的导数v'(t)表示t时刻的加速度.
A
3.一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示，则f'(10)表示 (　　)
A.t=10时的降雨强度
B.t=10时的降雨量
C.t=10时的时间
D.t=10时的温度
解析
f'(t)表示t时刻的降雨强度.
D
4.圆的面积S关于半径r的函数是S=πr2，那么在r=3时面积的变化率是 (　　)
A.6　　　　　　　 B.9
C.9π D.6π
解析
∵S'=2πr，∴S'(3)=2π×3=6π.
解析
探究一　导数在物理学中的应用
设一质点做直线运动，已知路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s=3t2+2t+1.求：
(1)从t=2变到t=3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)当t=2时的瞬时速度；
(3)当t=2时的加速度.
解
［训练1］　某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)=t3-6t2+16t.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求W'(1)，W'(2)，并解释它们的实际意义.
解
探究二　导数在实际生活中的应用
［知能解读］　解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，最后把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系.
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型.
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解.
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案.
东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c'(1 000)与c'(1 500)，并说明它们的实际意义.
解
解
(3)∵c'(x)=(-2x2+7 000x+600)'=-4x+7 000，
∴c'(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000(元/台)，
c'(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000(元/台).
c'(1 000)=3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元.c'(1 500)=1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.
解
B
解析
A
2.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t3-5t2(t表示时间)，则t=2时，汽车的加速度是 (　　)
A.14 B.4
C.10 D.6
解析
速度v(t)=s'(t)=6t2-10t，所以加速度a(t)=v'(t)=12t-10.当t=2时，a(t)=14，即t=2时汽车的加速度为14.
3.人体血液中药物的质量浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f'(2)=0.3，则f'(2)表示_____________________________________.
答案 服药后2 min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL的速度增加
4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1=17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2=2x3-x2(x>0)，为使利润最大，应生产______千台.
答案 6
解析
设利润为y万元，则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0)，y'=-6x2+36x=-6x(x-6).
令y'=0，解得x=0或x=6，经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.
解

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