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第二章 导数及其应用
§7 导数的应用
7.2 实际问题中的最值问题
课程内容标准 学科素养凝练
1.理解实际生活中的最优化问题.
2.会利用导数解决实际生活中的最优化问题. 在利用导数解决生活中优化问题的过程中提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养.
一、最优化问题
　　在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为_______问题.
最优化
二、导数在实际问题中的应用
　　应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大(小)值问题.此过程用框图表示如下：
说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y，而将另一个与y有关的变量设为x，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值.
(2)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值.
探究一　平面几何中的最值问题
已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r，如果窗子的周长为10，求当半径r取何值时窗子的面积最大.
解
［训练1］　在等腰梯形ABCD中，上底CD=40，腰AD=40，则AB=_____时，等腰梯形面积最大.
答案 80　
解析
解析
探究二　立体几何中的最值问题
已知一圆柱形金属饮料罐，当圆柱形金属饮料罐的容积为定值V时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解
［变式］　若把题中的条件改为圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使它的容积最大，它的高与底面半径的比为________.
答案 2∶1　
解析
［训练2］　用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成.该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解
设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，
则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320x(0所以V'(x)=12x2-552x+4 320
=12(x2-46x+360)
=12(x-10)(x-36).
令V'(x)=0，得x=10或x=36(舍去).
当00，即V(x)单调递增；
解
当10因此，在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x=10时取得极大值也是最大值，其最大值为V(10)=19 600(cm3).
因此，当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.
解
解
［训练3］　某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
(2)若年销售量关于x的函数为y=3 240× ，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大年利润是多少？
解
(1)本年度的投入成本为10(1+x)万元/辆，出厂价为13(1+0.7x)万元/辆，年销售量为5 000(1+0.4x)辆，因此本年度的年利润p=［13(1+0.7x)-10(1+x)］×5 000(1+0.4x)=(3-0.9x)×5 000(1+0.4x)=-1 800x2+1 500x+15 000(0(2)本年度的年利润为
f(x)=(3-0.9x)×3 240×
=3 240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5)，
解
C
1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系为y=-x3+27x+123(x>0)，则获得最大年利润时的年产量为 (　　)
A.1百万件　　　　　 B.2百万件
C.3百万件 D.4百万件
解析
y'=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)，当00；当x>3时，y'<0.故当x=3时，该商品的年利润最大.
C
解析
A
3.用总长为6 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3∶4，那么容器容积最大时，高为(　　)
A.0.5 m B.1 m
C.0.8 m D.1.5 m
解析
4.做一个容积为256 m3的长方体无盖水箱，水箱底面为正方形，当水箱的高为多少时最省料？
解

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