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第二章 导数及其应用
§6 用导数研究函数的性质
6.2 函数的极值
课程内容标准 学科素养凝练
1.理解函数的极大值和极小值的概念.
2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值. 1.在学习函数极值概念的过程中提升直观想象、数学抽象的核心素养.
2.在求函数极值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养.
一、函数极值的定义
1.极大值点与极大值
如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都____点x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的________，其函数值f(x0)为函数的______.
小于
极大值点
极大值
2.极小值点与极小值
如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_____点x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的________，其函数值f(x0)为函数的______.
函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.
大于
极小值点
极小值
二、极值的判断方法
1.若函数y=f(x)在区间(a，x0)内单调递增，在区间(x0，b) 内单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.若函数y=f(x)在区间(a，x0) 内单调递减，在区间(x0，b) 内单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
2.利用导数与函数单调性的关系，极大值问题可以通过下表表示出来.
x (a，x0) x0 (x0，b)
f'(x) + 0 -
y=f(x) ↗ 极大值 ↘
极小值问题可以通过下表表示出来.
x (a，x0) x0 (x0，b)
f'(x) - 0 +
y=f(x) ↘ 极小值 ↗
三、求函数y=f(x)极值点的步骤
一般情况下，在极值点x0处，函数y=f(x)的导数f'(x)=0.因此，可以通过如下步骤求出函数y=f(x)的极值点：
1.求出函数f(x)的定义域及导数f'(x).
2.解方程_________.
f'(x)=0
3.对于方程________的每一个实数根x0，分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：
(1)若f'(x)在x0_______的符号_____________，则x0为极大值点；
(2)若f'(x)在x0_______的符号_____________，则x0为极小值点；
(3)若f'(x)在x0_______的符号_____，则x0不是极值点.
f'(x)=0
附近
“左正右负”
附近
“左负右正”
附近
相同
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点. ( )
(2)函数的极小值一定小于它的极大值. ( )
(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. ( )
(4)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数. ( )
×
×
×
√
C
2.函数y=f(x)的定义域为R，若导数f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x) (　　)
A.无极大值点，有四个极小值点
B.有三个极大值点，两个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点
解析
由图象易知函数y=f(x)有两个极大值点，两个极小值点.
B
3.有下列四个函数：①y=x3；②y=x2+1；③y=|x|；④y=2x.在x=0处取得极小值的函数是 (　　)
A.①②　　　　　　　 B.②③
C.③④ D.①③
解析
①y=x3在R上单调递增，无极值；②y=x2+1在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，故y=x2+1在x=0处取得极小值；③y=|x|在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，故y=|x|在x=0处取得极小值；④y=2x在R上单调递增，无极值.
4.函数f(x)=x3-3x2+1在x=_______处取得极小值.
答案 2
解析
由f(x)=x3-3x2+1，得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).
当x∈(0，2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(-∞，0)和x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.故当x=2时，函数f(x)取得极小值.
探究一　求函数的极值
［知能解读］　
(1)对于极值的认识
①函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不是端点.
②若f(x)在某区间内有极值，则f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.
(2)对于函数极值点的认识
①函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
②当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
③从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧切线的斜率为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧切线的斜率为正.
解
x (-∞，
-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ↘ 极小值
-6 ↗
解
x (0，1) 1 (1，+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值3 ↗
因此，当x=1时，f(x)有极小值，f(1)=3；无极大值.
解
(3)函数的定义域为R，f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.
令f'(x)=0，得x=0或x=2.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小
值0 ↗ 极大值
4e-2 ↘
解
(1)f(x)=(x2-1)3+1的定义域为R，f'(x)=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2.
令f'(x)=0，得x1=-1，x2=0，x3=1.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (-∞，
-1) -1 (-1，
0) 0 (0，1) 1 (1，
+∞)
f'(x) - 0 - 0 + 0 +
f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小
值0 ↗ 无极值 ↗
∴当x=0时，f(x)有极小值，f(0)=0；无极大值.
解
x (-∞，
-1) -1 (-1，1) (1，2) 2 (2，+∞)
y' + 0 - + 0 +
y ↗ ↘ ↗ 无极值 ↗
解
(1)f'(x)=x2-2x+a，
由题意得f'(-1)=1+2+a=0，
解得a=-3，故f'(x)=x2-2x-3.
经验证可知，f(x)在x=-1处取得极大值，故a=-3.
(2)由题意，方程x2-2x+a=0有一正一负两个根，
设为x1，x2，则x1x2=a<0.
故a的取值范围是(-∞，0).
［训练2］　已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，-1)　　　　　 B.(0，+∞)
C.(0，1) D.(-1，0)
D
解析
若a<-1，
∵f'(x)=a(x+1)(x-a)，
∴f(x)在(-∞，a)上单调递减，在(a，-1)上单调递增.
∴f(x)在x=a处取得极小值，与题意不符.
若-1若a>0，则f(x)在(-1，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增.
∴f(x)在x=a处取得极小值，与题意矛盾.
C
解析
探究三　函数极值的综合问题
已知f(x)=x3+bx2+cx+2.
(1)若f(x)在x=1处取得极值-1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
思路分析：(1)函数在x=1处的极值为-1，说明f(1)=-1，f'(1)=0，由此求出b，c的值；(2)结合(1)求得函数的极值，由此画出函数y=f(x)的图象，利用数形结合的方法，求出k的取值范围.
解
解
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
解
［变式］　本例中的条件恰有三个不同的交点改为恰有一个交点，求此时实数k的取值范围.
解
［方法总结］　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
［训练4］　函数f(x)=x3-3x+2的零点个数为______.
答案 2
解析
f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)，可知f(x)在(-∞，-1)及(1，+∞)上单调递增，在(-1，1)上单调递减，故f(x)的极大值为f(-1)=4，极小值为f(1)=0，其大致图象如图所示，零点个数为2.
［训练5］　 已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数)，若方程f(x)=0有三个不同实根，求实数a的取值范围.
解
f(x)=x3-3x+a的定义域为R，令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0，得x1=-1，x2=1.
当x<-1时，f'(x)>0；当-11时，f'(x)>0.
解
所以当x=-1时，f(x)有极大值f(-1)=2+a；
当x=1时，f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根，
所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点，如图所示.
由已知应有
解得-2BC
1.(多选题)下列四个函数中，能在x=0处取得极值的函数是 (　　)
A.y=x3　　　　　　 B.y=x2-3
C.y=|x| D.y=5x
解析
A，D为单调函数，不存在极值.
C
2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f'(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有(　　)
A.5个　　B.4个　　C.3个　　D.2个
解析
结合图象，当导数值由负到正时，函数f(x)存在极小值，故由导数图象知极小值点有3个.
D
3.函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是(　　)
A.有极大值，没有极小值
B.有极小值，没有极大值
C.既无极大值也无极小值
D.既有极大值又有极小值
解析
4.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________________.
答案 (-∞，-3)∪(6，+∞)
解析
f'(x)=3x2+2ax+(a+6)，若函数f(x)有极大值和极小值，则f'(x)有两个零点.令f'(x)=0，得Δ=(2a)2-4×3(a+6)>0，即a2-3a-18>0，解得a<-3或a>6.
解析
x (-∞，
-1) -1 (-1，0) (0，1) 1 (1，+∞)
y' + 0 - - 0 +
y ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗
∴当x=-1时，y极大值=-2；当x=1时，y极小值=2.

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