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第二章 导数及其应用
§8 数学探究活动(二)：探究函数性质
课程内容标准 学科素养凝练
1.通过探究活动探究函数的单调性，极值，最值，图象等.
2.感悟利用导数解决与不等式、函数零点有关的问题. 在探究活动过程中达成逻辑推理、数学直观、数学运算的核心素养.
解
解
［方法总结］　利用导数研究函数的性质的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求出函数的导数；
(3)令f'(x)=0，解方程探求零点；
(4)讨论函数的单调性、极值、最值；
(5)画出函数的图象.
［训练1］　讨论函数y=x2(1-x)3的单调性、极值点，并画出函数的草图.
解
解
证明
［训练2］　已知x>0，证明：1+2x证明
设f(x)=1+2x-e2x，
则f'(x)=2-2e2x=2(1-e2x).
当x>0时，2x>0，e2x>e0=1，
∴f'(x)=2(1-e2x)<0，
∴函数f(x)=1+2x-e2x在(0，+∞)上单调递减.
∵函数f(x)=1+2x-e2x是连续函数，
∴当x>0时，f(x)∴当x>0时，1+2x-e2x<0，即1+2x解
证明
(2) 当a≥1时，f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.
令g(x)=x2+x-1+ex+1，则g'(x)=2x+1+ex+1在R上单调递增且g'(-1)=0.
当x<-1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x>-1时，g'(x)>0，g(x)单调递增.
所以g(x)≥g(-1)=0.
因此f(x)+e≥0.
解
解
解
解
D
1.已知函数f(x)的定义域为［-1，4］，部分对应值如下表：
x -1 0 2 3 4
f(x) 1 2 0 2 0
f(x)的导数y=f'(x)的图象如图所示.当1A.1　　　B.2 C.3 D.4
解析
根据导数图象，知x=2是函数的极小值点，函数y=f(x)的大致图象如图所示.
因为f(0)=f(3)=2，1D
2.已知f(x)=x2-cos x，x∈［-1，1］，则导数f'(x)是(　　)
A.仅有最小值的奇函数
B.既有最大值又有最小值的偶函数
C.仅有最大值的偶函数
D.既有最大值又有最小值的奇函数
解析
f'(x)=2x+sin x，f'(-x)=-2x-sin x=-f'(x)，∴导数f'(x)是奇函数.
令g(x)=f'(x)=2x+sin x，则g'(x)=2+cos x>0，∴g(x)在［-1，1］上单调递增，
即f'(x)在［-1，1］上单调递增.
∴f'(x)min=f'(-1)，f'(x)max=f'(1).
∴f'(x)既有最大值又有最小值.
3.在区间［-a，a］(a>0)内图象不间断的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0，函数g(x)=exf(x)，且g(0)g(a)<0，又当00，则函数f(x)在区间［-a，a］内零点的个数是_______.
答案 2
解析
∵f(-x)-f(x)=0，
∴f(x)为偶函数.
∵g(x)=exf(x)，
∴当00.
∴g(x)在［0，a］上单调递增.
又g(0)g(a)<0，∴函数g(x)=exf(x)在［0，a］上只有一个零点.
又ex≠0，∴f(x)在［0，a］上有且仅有一个零点.
∵f(x)是偶函数，且f(0)≠0，∴f(x)在［-a，a］上有且仅有两个零点.

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