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2026年4月湖北襄阳市第二十一中学等校九年级数学第一次模拟测试
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果向东走5m记为+5m，那么向西走3m记为（　　）
A. 3m B. ﹣3m C. 5m D. ﹣5m
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.国家知识产权局数据显示：截至2025年，我国国内有效发明专利达件，并连续多年位居全球第一．将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A. B. C. D.
6.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少钱？设有x人，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2∠C.若AB=5，BC=6，则△ABD的周长为（　　）
A. 8
B. 10
C. 11
D. 12
8.关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
9.某学校社团活动中心要添置两样体育用品：跳绳和毽子，王老师准备用36元钱去购买，根据要求，每样体育用品最少买一件，跳绳每条9元，毽子每个1元，在把钱用完的条件下，买法共有（　　）
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
10.已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），当x＞0时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（　　）
A. ab＜0 B. 该函数图象的顶点位于第四象限
C. 方程ax2+bx+1＝0没有实数根 D. 该函数的最大值不小于﹣3
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值： ．
12.将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是 ．
13.化简： ．
14.幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy= .
15.如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.计算：
四、解答题：本题共8小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
已知，求代数式的值．
18.(本小题10分)
如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：．
19.(本小题10分)
如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，点B．
(1) 求点A的坐标和反比例函数解析式；
(2) 若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，请根据图象直接写出m的取值范围．
20.(本小题10分)
为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1) 求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2) 晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
21.(本小题10分)
综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点．
(1) 数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是 ．图1中三角形点阵前n行的点数和是 ．
(2) 问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？
22.(本小题15分)
小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 …
（米） 0 4 6 …
(1) 求与的函数关系式；
(2) 网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3) 当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为 （直接写出结果）．
23.(本小题15分)
数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解．
(1) 【类比探究】如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：；
(2) 【拓展应用】如图3，在 中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由；
(3) 【知识迁移】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出 的面积．
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴的交点为．
(1) 求的值，并用含的式子表示；
(2) 已知直线与抛物线交于两点，点是右侧交点．
求点的横坐标；
过点作轴的垂线，交抛物线于点（不与，重合），连接，．已知在点从点运动到点的过程中，的面积随长度的增大而增大，求的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】（答案不唯一）
12.【答案】校
13.【答案】
14.【答案】1
15.【答案】
16.【答案】解：
．

17.【答案】原式 ，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．

18.【答案】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．

19.【答案】【小题1】
解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，，
解得，
∴点A的坐标为．
将A点坐标代入反比例函数解析式得，，
解得：
∴反比例函数的解析式为．
【小题2】
由（1）知，反比例函数的解析式是，
当时，则；当时，，
由图象可知，若点在反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，则m的取值范围是或．

20.【答案】【小题1】
解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元，
由题意，得
，
解得，
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元．
【小题2】
解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏，
由题意，得
解得，，
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．

21.【答案】【小题1】
36

【小题2】
解：设这群人共有x人．
由题意得，
即，
解得（舍去），．
故这群人共有11人．

22.【答案】【小题1】
解：∵图象经过点，，
，
解得：，
∴与的函数关系式为 ．
【小题2】
解：由表格可知，
∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，
代入得：，
解得：，
∴．
对于，，
∴开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当时，，
此时，
解得：，
∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米．
【小题3】

23.【答案】【小题1】
证明：∵于D，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
【小题2】
解：结论：．理由如下：
如图，过点D作于点T，连接．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，
∴的面积等于60．

24.【答案】【小题1】
解：∵抛物线经过点，与轴的交点为，
∴，
解得：，；
【小题2】
解：∵直线与抛物线交于两点，
∴，
，
解得，，
∵点是右侧交点，
∴点的横坐标为；
当时，如图，过点作轴的垂线，交抛物线于点，
点从点运动到点的过程中，长度不变，逐渐增大，点到的距离增大，的面积逐渐增大，
∴的面积随长度的增大而增大；
当时，设过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，
∴，，
当，，
∴
，
∵，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，解得，
∴，
综上可得：的取值范围是或．

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