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2026年福建省福州市水都中学中考数学适应性试卷（七）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中是无理数的为（　　）
A. B. C. D. 0.9
2.据报道，2024年国庆假期期间，全国国内出游人数约765000000，将数据765000000用科学记数法表示为（　　）
A. 7.65×108 B. 7.65×107 C. 76.5×107 D. 0.765×109
3.如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.在数学活动课上，小丽同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得∠1=32°，则∠2的度数是（　　）
A. 45°
B. 58°
C. 60°
D. 62°
5.下列计算正确的是（　　）
A. （a2）3=a6 B. a8÷a2=a4 C. a2 a3=a6 D. 2x+3y=5xy
6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如10=3+7.在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠CED=58°时，∠B的度数是（　　）
A. 32°
B. 64°
C. 29°
D. 58°
8.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是（　　）
A. 16（1+x）2=23 B. 23（1-x）2=16
C. 23-23（1-x）2=16 D. 23（1-2x）=16
9.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　）
A. （4，2） B. C. D.
10.已知抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）过点A（2-m,y1），B（m-6，y2），C（-1，y3），若点A在对称轴右侧，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y2＜y1＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y3＜y2＜y1 D. y3＜y1＜y2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知点A（a,-1）与点B（5，b）关于原点对称，则a+b= .
12.若点M（m+3，1-m）在第四象限，则m的取值范围是 .
13.一个不透明的口袋中装有40个除颜色外都相同的小球，摇匀后从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回，发现摸到红球的频率在0.7左右摆动，则这个不透明的口袋中红球的个数大约为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y=x-2的图象交于点P（m,n），则代数式的值为 .
15.如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）.
16.如图，四边形ABCD是菱形，AB=5，∠ABC=60°，点E是菱形内部一点，连接AE，BE，CE，若∠AEB=60°，AE=2，则CE的长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算：.
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
如图，已知四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
求证：BE=DF．
19.(本小题8分)
解方程：=-1
20.(本小题10分)
某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.教师评委打分：
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b.学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组82≤x＜85，第2组85≤x＜88，第3组88≤x＜91，第4组91≤x＜94，第5组94≤x＜97，第6组97≤x≤100）：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

平均数 中位数 众数
教师评委 91 91 m
学生评委 90.8 n 93
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为 ______ ，n的值位于学生评委打分数据分组的第 ______ 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则 ______ 91（填“＞”“=”或“＜”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：

评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 93 90 92 93 92
乙 91 92 92 92 92
丙 90 94 90 94 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ______ ，表中k（k为整数）的值为 ______ .
21.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
（1）在OB上求作点E，使得点E到AB，AC的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求点E到AB的距离.
22.(本小题10分)
在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）.
（1）当a=-1时，
①若该函数图象的对称轴为直线x=2，且过点（1，4），求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：；
（2）已知该函数的图象经过点（m,m），（n,n）（m≠n）.若b＜0，m+n=3，求a的取值范围.
23.(本小题10分)
如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CF，CG.
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形.
（2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值.
24.(本小题10分)
根据以下素材，探索完成任务：
如何确定灌溉方案
素材1 图1是一种360°自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面，图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为x轴，喷枪底座中心为原点建立平面直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得OB=10m.
素材2 现有一块四边形CDEF农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在⊙O上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田.
问题解决
任务1 确定喷枪的高度 求OP的长
任务2 拟定方案1 一种高为的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径.
任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田，喷水口P应至少上升多少米.
25.(本小题10分)
已知，四边形ABCD内接于⊙O，，点T在BC的延长线上.
（1）如图1，求证：CD平分∠ACT；
（2）如图2，若AC是⊙O的直径，BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF.
①求∠AED的度数；
②若，△DEF的面积等于，求AC的长.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】-4
12.【答案】m＞1
13.【答案】28
14.【答案】
15.【答案】16-4π
16.【答案】
17.【答案】解：
=1+-2×+
=．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF．
19.【答案】解：去分母得：2x=3-2x+2，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
20.【答案】91 4 ＜ 甲 92
21.【答案】见解析； -1．
22.【答案】解：（1）①∵a=-1，
∴该函数解析式为y=-x2+bx+c.
∵该函数图象的对称轴为直线x=2，
∴，
解得：b=4．
∵该函数图象过点（1，4），
∴4=-12+4+c,
解得：c=1，
∴该函数解析式为y=-x2+4x+1；
②∵该函数解析式为y=-x2+bx+c,且其图象与x轴有且只有一个交点，
∴方程-x2+bx+c=0有且只有一个实数解，
∴Δ=b2-4×（-1）×c=0，
整理，得：b2+4c=0，即4c=-b2，
∴．
∵，
∴；
（2）∵该函数的图象经过点（m,m），（n,n），
∴m=am2+bm+c,n=an2+bn+c,
∴m-n=（am2+bm+c）-（an2+bn+c），
整理，得：m-n=a（m2-n2）+b（m-n），
∴m-n=a（m-n）（m+n）+b（m-n）．
∵m+n=3，
∴m-n=3a（m-n）+b（m-n）=（3a+b）（m-n）．
又∵m≠n,
∴3a+b=1，即b=1-3a.
∵b＜0，
∴1-3a＜0，
解得：．
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∵EG=AE，AO=OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，OE=CG，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE=OB=OD=OF，
∴OE=EF，
∴EF=CG，FE∥CG，
∴四边形EFCG是平行四边形；
（2）解：过A作AH⊥BD于H，如图：
设OE=m,由（1）可知BE=OE=OF=DF=m,
∴OB=OD=OA=OC=2m,
∵四边形EFCG是菱形，
∴EF=EG=AE=2m,
∴OA=AE=2m,
∵AH⊥BD，
∴HE=HO=OE=，
∴AH2=AE2-EH2=（2m）2-（m）2=m2；BH=BE+HE=m+=m,DH=OD+HO=2m+=m,
∴AB===m,AD===m,
∴AB：AD=（m）：（m）=；
∴AB：AD的值为．
24.【答案】解：任务1：∵OB=10，
∴B（10，0），
点B（10，0）在抛物线上，
∴×102+×10+c=0，
解得，
∴OP的长为m.
任务2：抛物线，当时，则，
解得x1=9，x2=-1（不符合题意，舍去），
答：该农作物种植的最大半径为9m.
任务3：连接OD，OF，作OH⊥DF于H，则OF=OD，∠FGO=90°，
∵DF=12m,∠E=60°，
∴FH=DH=DF=6m,∠FOD=2∠E=120°，
∴∠OFH=∠ODH=×（180°-120°）=30°，
∴OH=OF，
∴FH===OF=6，
∴OF=12m,
∴覆盖四边形CDEF农田的圆半径为12m,
将（12，0）代入，得×122+×12+c=0，
解得c=8，
∴8-=（m），
答：喷水口P应至少上升米．
25.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
又∵∠DCT+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCT，
∵=，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠ACD=∠DCT，
∴CD平分∠ACT；
（2）解：①如图2.1，连接CF，
∵∠ECT是△BCE的一个外角，
∴∠BEC=∠ECT-∠EBC，
同理可得：∠BAC=∠ACT-∠ABC，
由（1）可知：CD平分∠ACT，BE平分∠ABC，
∴∠BEC=∠ECT-∠EBC=（∠ACT-∠ABC）=∠BAC，
即，∠BAC=2∠BEC，
∵∠BAC=∠BFC，
∴∠BFC=2∠BEC，
∵∠BFC=∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC=∠FCE，
∴∠FAD=∠FED，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADE=180°-90°=90°，
∵∠ADF=∠ABF=45°，
∴∠FDE=∠ADE-∠ADF=45°，
∴∠ADF=∠EDF，
∴△ADF≌△EDF（AAS），
∴DA=DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°；
②如图2.2，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC=∠EBC=∠ABC=45°，
∵∠AED=45°，
∴∠AED=∠FAC，
∵∠FED=∠FAD，
∴∠AED-∠FED=∠FAC-∠FAD，
∴∠AEG=∠CAD，
∵∠EGA=∠ADC=90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
在Rt△ABG中，∠ABG=45°，
∴，
在Rt△ADE中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，
∴设AD=4x,AC=5x（x＞0），则（4x）2+CD2=（5x）2，
∴CD=3x,
∵∠BEC=∠FCE，
∴FC=FE，
∵FM⊥CE，
∴，
∴DM=4x-3.5x=0.5x=FM，
∵△DEF的面积等于，
∴，
∵x＞0，
∴，
∴．
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