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2026年广东省中山一中教育集团中考数学诊断试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列银行图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.一个不透明的袋中，装有1个黄球、2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同.从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是（　　）
A. B. C. D.
3.将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定能与原图形重合的是（　　）
A. 平行四边形 B. 长方形 C. 正六边形 D. 正方形
4.如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（　　）
A. B.
C. ∠A=∠D，∠B=∠E D. ∠A=∠B，∠D=∠E
5.下列现象中，不属于中心投影的是（　　）
A. 路灯下人的影子 B. 电影院银幕上的影子
C. 阳光下窗框的影子 D. 探照灯下物体的影子
6.如图，△ABD内接于⊙O，连接OA，OB，若∠AOB=70°，则∠D度数是（　　）
A. 50°
B. 25°
C. 40°
D. 35°
7.若方程x2+x-2=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2=（　　）
A. -1 B. -2 C. -3 D. -4
8.反比例函数y=(k≠0)图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A. k＞0
B. y随x的增大而减小
C. 若矩形OABC面积为2，则k=-2
D. 若图象上点B的坐标是（-2，1），则当x＜-2时，y的取值范围是y＜1
9.2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力.如图，乐器上的一根弦AB长为80cm,两个端点A，B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即，则支点C到端点B的距离为（　　）
A. B. C. D.
10.图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．二次函数与其图象，由图象可以看出函数的开口方向、对称轴以及y随x的变化规律，也可以看出x取某个值时，y的取值情况．已知二次函数y=ax2+bx+1的图象如图所示，有以下结论：①ab＞0；②a-b＞0；③a+b+1＜0；④9a-3b+1＞0．其中所有正确结论的序号是（　　）
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若关于x的方程x2-x+c=0有一根是x=3，则另一个根是 .
12.将抛物线y=x2+1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为 ．
13.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE=______．

14.如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°，弧长为6π的扇形，则圆锥的高h为 .
15.如图，矩形ABCD的边AB=4，AD=3，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠APD=90°，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：.
17.(本小题7分)
如图，直线y=x+5与反比例函数的图象交于点A（a,6）.
（1）求a的值和反比例函数的表达式.
（2）直线y=x+5向下平移后与反比例函数的图象交于点B（b,2），求直线y=x+5向下平移的距离.
18.(本小题7分)
亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红.据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件.
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔11月份的销售量是多少？
19.(本小题9分)
2022年11月21日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有（NowisAll）”.某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查学生只能选择其中一种项目），对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取的学生人数为______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.
20.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点C的直线MN∥AB，∠C=75°，∠D=45°.
（1）求证：MN是⊙O的切线；.
（2）若AC=12，求CD的长.
21.(本小题9分)
【问题情境】
在我们的生活中，处处都蕴含着数学.小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究.他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）.
【问题提出】
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图.
图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形ABCD组成，且，圆心是倒锁按钮点F，若的弓形高EG=2cm,CD=8cm,此时可求出图③中圆心F到AB的距离.
图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边RP右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达K处，把手绕锁芯O旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边N点处，此时∠NOS=20°.将ON绕点O顺时针旋转90°得到OQ，过点Q作QM⊥PR于点M.若所在圆的半径ON=10cm,此时可求出MN的长度.（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【问题解决】
（1）请求出图③中圆心F到AB的距离；
（2）请求出图④中MN的长度（结果保留小数点后一位）.
22.(本小题13分)
如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B.抛物线经过点A，B.（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m,0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标.
23.(本小题14分)
我们约定：如图1，与x轴相交于A（xA，yA）、B（xB，yB）两点，（xA＜xB），顶点为M，而抛物线的顶点恰好为上的点B，且经过的顶点M，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”.
（1）填空：抛物线y=-2x2+2的“兄弟函数”为______；
（2）若抛物线y=-x2+2x+c存在“兄弟函数”，求c的取值范围；
（3）已知点P是正比例函数G1：y=x（x＞0）上一点，抛物线从点O出发，在射线OP上移动，运动t秒后，移动距离为，得到抛物线G2，抛物线G2的“兄弟函数”为G3.
①当t=3时，抛物线G2的解析式为______；
②当t=4时，求抛物线G3的解析式；
③设抛物线G3与G1的另一交点为D，当OM=MD时，求t的值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】-2
12.【答案】y=（x-2）2+4
13.【答案】100°
14.【答案】
15.【答案】3.5
16.【答案】．
17.【答案】a的值为1；反比例函数的表达式为 6
18.【答案】月平均增长率为20% 11月份的销售量是8.64万件
19.【答案】100；
见解析；
．
20.【答案】AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点C的直线MN∥AB，连接OC，
∵∠BDC=45°，
∴∠BAC=∠BDC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
∵MN经过点C，且MN∥AB，
∴∠OCM=∠BOC=90°，
∴MN是⊙O的切线 CD的长为
21.【答案】圆心F到AB的距离为3cm MN的长度约为12.8cm
22.【答案】y=-x2+x+2 （，0）或（，0）
23.【答案】y=2x2-4x+2 c＞-1 ①；②；③
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