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2026年山东省青岛市崂山实验学校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（　　）
A. B. C. D. 0.13133
2.2020年12月10日，国家统计局发布的数据显示，2020年全国粮食总产量为13390亿斤，比上年增加113亿斤，增长0.9%，粮食生产再获丰收，产量连接6年保持在1.3万亿斤以上.将数据“13390亿”用科学记数法可表示为（　　）
A. 1.339×1012 B. 13.39×1011 C. 1.339×1013 D. 1.339×1010
3.如图所示几何体的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（　　）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5.下列运算正确的是（）
A. （-a）2=-a2 B. 2a2-a2=2 C. a2 a=a3 D. （a-1）2=a2-1
6.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，直线l1和l2分别经过正五边形的一个顶点，l1∥l2，∠1=12°，则∠2的度数为（　　）
A. 32°
B. 38°
C. 46°
D. 48°
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=5cm,以点C为圆心，以2.8cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D. 相切或相交
9.如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（）
A. π﹣ B. π﹣2
C. π﹣4 D. π﹣2
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（-3，0），其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②对于任意实数m,都有；
③3a+3b+c=0；
④若，且x1≠x2；则x1+x2=-1.
⑤若x1，x2（x1＜x2）为方程a（x+3）（x-2）=1的两个根，则-3＜x1＜x2＜2.
其中正确结论的个数有（　　）个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：= .
12.为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练.在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员 的成绩更加稳定.
13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为______．
14.如图，直线y=ax（a≠0）与双曲线交于点A，点B（3，3）是直线y=ax（a≠0）上一点，且OA=2AB，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥AB交双曲线于点D，过点D作DE⊥BC于点E，则OB2-BD2= .
15.如图，在正方形ABCD中，对角AC，BD相交于点O，E，F分别在OB，OC上，AE的延长线交BF于点M，OE=OF，若，OE=1，则EM的长为______．
16.一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 .
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知∠α，线段a,求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a.
18.(本小题8分)
（1）解不等式组：；
（2）化简求值：，其中.
19.(本小题8分)
为激发中学生热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（8分及8分以上为优秀），数据整理如图表：根据信息，回答下列问题：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 a 7.55
中位数 8 d
众数 b 7
优秀率 c 0.5
（1）统计表中a=______，b=______，c=______，d=______；
（2）若该校七年级有1000名学生、八年级有1200名学生，请估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数.
20.(本小题8分)
课间十分钟是学生释放学习压力，自我调节的放松时间.课间同学们玩抽卡片游戏，他们在一个不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2，3，5，6，这些卡片除上面的数字外，其余均相同.
（1）小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”的卡片2次，则这10次摸卡片中，摸出写有数字“6”的卡片的频率是______；
（2）佳佳和乐乐同时从箱子中各取出1张卡片，如果两张卡片上的数字之和为奇数，则佳佳胜；如果两张卡片上的数字之和为偶数，则乐乐胜.这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明.
21.(本小题10分)
南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统.如图，在离下坡路终点6米处（即AC=6米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为10°；区间测速的终点为下坡路终点C处，此时电子眼的俯角为53°（A，B，C，D四点在同一平面）.
（1）求电线杆AB的高度；
（2）已知下坡路段CD坡比i=1：4，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段CD，该汽车是否超速？请说明理由.（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈，
22.(本小题12分)
在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题.
【问题情境】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q.判断线段AE，FG的数量关系______；
【尝试应用】
（2）如图2，在正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，则tan∠AOC= ______；
【拓展提升】
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE，分别交线段BC，PC于点M，N.则sin∠DMC= ______.
23.(本小题12分)
2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线.这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点.某公司计划购买A、B两种机器人进行销售.已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍.
（1）求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍.据市场销售分析，当A种机器人提价15%，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案.
24.(本小题12分)
如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF.
（1）求证：四边形AODF是平行四边形；
（2）从①②中任选一个并证明：
①当△ACD满足AD=DC时，说明四边形AODF为什么特殊四边形，并证明；
②当△ACD满足∠ADC=90°时，说明四边形AODF为什么特殊四边形，并证明.
25.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm,起跳点与落地点的距离为160cm.
数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm,才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）.
26.(本小题12分)
如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】乙
13.【答案】k≤4且k≠1
14.【答案】8
15.【答案】
16.【答案】3
17.【答案】△ABC即为所求作．

18.【答案】解：（1），
解不等式①，得x≥-2，
解不等式②，得x＜，
则不等式组的解集为：-2≤x＜；
（2）原式=÷（-）
=
=，
当a=-2时，原式==．
19.【答案】7.55 8 0.6 7.5
20.【答案】0.2
21.【答案】8 汽车不超速，下坡路段CD坡比i=1：4，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段CD，
过D作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，
∴AG=DF，DG=AF，DG∥AF∥BE，
∴∠BDG=∠EBD=10°，
设DF=AG=x，
∵CD坡比i=1：4，
∴FC=4x，
∴BG=8-x，DG=6+4x，
∵，
∴，
解得x=4，即DF=4，
∴CF=16
∴，
而，
所以该汽车不超速
22.【答案】AE=FG．证明见解析；
；
．
23.【答案】（1）A种机器人的价格为60万元，B种机器人的价格为65万元 （2）购进了A种机器人60个，B种机器人40个；最大利润1060万元
24.【答案】证明见解析；
①矩形，证明见解析；②菱形，证明见解析．
25.【答案】（80，60），； 起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm； 6cm．
26.【答案】解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2t．
则==，
又∵AO=10，AB=20，
∴==．
∴=．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．
∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．
（2）①如图，在Rt△APM中，
∵∠PAM=30°，AP=4t，
∴AM=．
在△APQ中，∠AQP=90°，
∴AQ=AP cos30°=2t，
∴QM=AC-2AQ=20-4t．
由AQ+QM=AM得：2t+20-4t=，
解得t=．
∴当t=时，点P、M、N在一直线上．
②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．
∴MH=2NH．得20-4t-=2×，解得t=2．
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．
∴MH=2PH，同理可得t=．
故当t=2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．

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