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2026年江苏省无锡市新吴区2025一2026学年度第二学期九年级期中测试数学试卷（一模）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个实数中，比小的数是（　　）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2.2026年春节小长假前8天，无锡硕放机场进出港客流量约为257000人次．257000这个数据用科学记数法可表示为（）
A. B. C. D.
3.若二次根式有意义，则x的取值范围是（）
A. x＞1 B. x≥1 C. x＜1 D. x≤1
4.某校九年级5个班一学年完成数学实践作业的次数分别为7、8、9、9、10．这组数据的众数为（）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
5.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
6.如图，已知，且平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，点，点，将沿直线翻折，原点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10.若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论：
①函数与函数存在奇对称点；
②函数与函数的“奇对称值”为2或5；
③若是函数与函数的“奇对称值”，则或；
④若函数与函数存在奇对称点，则．
其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.-3的倒数是 ．
12.分解因式： ．
13.正十二边形的每一个外角等于 度.
14.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为 ．
15.已知代数式，，则 ．（填“>”“<”或“=”）
16.如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是 ．（写出符合题意的一个条件即可）
17.如图，在四边形中，，，，．现将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为 ．
18.如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时， ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解不等式及解方程组：
(1) 解不等式：；
(2) 解方程组：．
四、解答题：本题共9小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中．
21.(本小题6分)
如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、．
(1) 求证：．
(2) 若，，求四边形的周长．
22.(本小题6分)
为传承无锡非遗文化，某校开展“非遗文化进校园”主题活动，精心选取四项特色体验项目：A惠山泥人，B锡剧，C紫砂陶瓷，D留青竹刻．活动采取随机抽签方式确定体验项目，每位学生可抽取一个项目参与体验，她们的抽取结果互不影响．
(1) 小丽从中随机抽取一项，抽到“惠山泥人”的概率为 ；
(2) 请用列表法或画树状图的方法，求小丽和小慧抽到不同项目的概率．
23.(本小题7分)
近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题：
九年级部分学生视力频数分布表
分组 视力 频数
A
B
C
D
E
(1) 本次调查的样本容量是 ，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为 ；
(2) 此次抽样调查中，视力的中位数落在 组；
(3) 自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数．
24.(本小题6分)
如图，四边形是平行四边形．以边为直径作，恰好为的切线，其中点为切点．点是下方上的点，连接、．
(1) 求的度数；
(2) 若，，求的长．
25.(本小题6分)
已知：在中，，．
(1) 尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）．
(2) 在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为 ．（若要借用图形计算，请用备用图）
26.(本小题8分)
问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本．
(1) 【探究一】
人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式．
(2) 【探究二】
如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离．
(3) 【探究三】通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示）
27.(本小题6分)
如图，在矩形中，，．将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，得到矩形．连接、．
(1) 当点的对应点落在边上时，求的长；
(2) 在旋转过程中，设，的面积为．求与之间的函数表达式，并求出的最大值．
28.(本小题9分)
二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）．
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 若与的面积相等时，求的值；
(3) 当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值）
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】-
12.【答案】
13.【答案】30
14.【答案】
15.【答案】>
16.【答案】/（答案不唯一）
17.【答案】
18.【答案】1或3或
19.【答案】【小题1】
解：移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化为1可得：；
【小题2】
解：，
由可得：，
解得，
将代入②可得：，
解得，
∴方程组的解为．

20.【答案】解：
，
当时，原式．

21.【答案】【小题1】
解：点、、分别是、、的中点，
，，，、是的中位线，
，，
，，
．
【小题2】
解：由（1）可知，，，
，，
四边形的周长．

22.【答案】【小题1】

【小题2】
解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表格可知，共有16种等可能的情况，其中抽到不同项目的情况有12种，
则小丽和小慧抽到不同项目的概率为．

23.【答案】【小题1】

54°
【小题2】
C
【小题3】
解：∵，
∴，
∴估计全校九年级学生中视力正常的人数为人.

24.【答案】【小题1】
解：如图，连接，
，
∵为的切线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：如图，作于点，
，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：如图，点即为所求作；

【小题2】


26.【答案】【小题1】
解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称，
，，
，
则，
，
，
，
则，
，
，则，
即与之间的函数表达式为；
【小题2】
解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示：
，，
，
即，
，
，
则，
，
由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示：
由（1）可知，，
，
，
即下移的距离为；
【小题3】
解：要确保全班都能看到全身像，必须满足最高同学能看到全身像，则由（1）中结论可知，满足要求的最短镜长为．

27.【答案】【小题1】
解：当点的对应点落在边上时，如图所示：
在矩形中，，，
过点作，连接，过点作，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
在中，，则由勾股定理可得，
由旋转性质可知，则，
，
则，
解得，，
，
在中，，，则由勾股定理可得；
【小题2】
解：过点作、，过点作，如图所示：
四边形是矩形，则，
，
解得，
，，
是的中线，则，
在中，，则由勾股定理可得，
由等面积法可知，
，解得，
在中，由勾股定理可得，则，
，
，
直接开平方得，
即与之间的函数表达式为，
，即抛物线开口向上，且对称轴为轴，
值随着的增大而增大，
将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，则点在以点为圆心、为半径的圆周上，如图所示：
在旋转过程中，设，则为直径，即时，的面积有最大值，为．

28.【答案】【小题1】
解：二次函数的图象与轴交于点，
；
对称轴为直线，
，则；
将代入得，
二次函数的表达式为；
【小题2】
解：由（1）知二次函数的表达式为，则点，
令，则，
解得或，
点，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线，
直线，
与相交，
过点作、过点作，与相交于点，如图所示：
与的面积相等，
，
则，
在和中，
，
，
，即点是线段的中点，
、，
的坐标为，即，
将代入直线得，
解得；
【小题3】
解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，分两种情况：
当交点、均在轴上方时，，如图所示：
设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧），
联立，
消去得，
，，
，
则以为直径的圆的圆心，，
当与轴相切时，，
即，
，
解得或（负值舍去）；
当交点、均在轴下方时，，如图所示：
同理可知，
，
解得或（正值舍去）；
综上所述，或．

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