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2025-2026学年福建省泉州五中高一（下）限时训练数学试卷（一）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足z+zi=1+3i,则复数z的实部和虚部分别是（　　）
A. -1，1 B. 2，1 C. -1，i D. 2，i
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B等于（　　）
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
3.在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC，则A的取值范围是（　　）
A. （0，] B. [，π） C. （0，] D. [，π）
4.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼成的一个大等边三角形ABC，若A'B'=2，cos∠ABB'=，则AB=（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，且b=6，则△ABC的外接圆半径为（　　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6.如图，在河岸CD上测量河对面A，B两点间的距离，测得∠ACD=60°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠ADB=30°，CD=4，则AB=（　　）
A.
B.
C. 4
D.
7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A=120°，D是边BC上一点，AB⊥AD且，则b+2c的最小值是（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
8.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且b2-（a-c）2=6，，若点P为△ABC的费马点，则=（　　）
A. -6 B. -4 C. -3 D. -2
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1，z2，且z1是非零复数，，分别是z1，z2的共轭复数，则下列结论正确的是（　　）
A. 若z1+z2=0，则 B.
C. 若，则z1=z2 D.
10.已知△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，其中为AC中点，点O为△ABC的内心，连接AO延长交BC于D，下列结论正确的是（　　）
A. △ABC的面积为 B.
C. D.
11.已知△ABC的面积为，若cos2A+cos2B+2cos（A-B）cos2C=0，，则（　　）
A. cosC=sin2A B.
C. △ABC的外接圆半径为1 D. AB2+AC2+BC2=5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a∈R，若复数（1+i）（2-ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则a= .
13.在△ABC中，已知∠BAC的角平分线交BC于D，AB=AD，3DC=2AC，则cos∠BAD= .
14.在凸四边形ABCD中，AB=，则AC的最大值为 .
四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,点D在边BC上，且BD=2DC，∠DAB=90°.
（1）求的值；
（2）若B=45°，△ADC的面积为1，求b.
16.(本小题14分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABD=∠CBD=，AB∥CD，AC=.
（1）若∠BAC=，求sin∠BDA；
（2）求平面四边形ABCD面积的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：（1）由，
得，而，
则，
，
由AB∥CD，得∠BDC=∠CBD，，
则CD=BC=2，，
在△ABD中，由正弦定理得．
（2）由（1）知，
设，
在△ABC中，由正弦定理得，
则，又CD=BC，
因此四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ACD=S△ABC+S△BCD
=
=
=
=，由，
得，
因此，
即，
所以四边形ABCD面积的取值范围是．
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