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2025-2026学年湖南省常德市临澧一中高一（下）第一次段考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z=（3+i）（2-ai），a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则a=（　　）
A. B. 6 C. -6 D.
2.若z是复数，|z-2i|=1，则|z|的最大值为（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=，b=，A=45°，则 B=（　　）
A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°
4.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（　　）
A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
5.在△ABC中，，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N，设，，则2m+n的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.任何一个复数z=a+bi（a,b∈R）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（r≥0，θ∈R）的形式，通常称为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：[r（cosθ+isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）（n∈Z），我们称这个结论为棣莫弗定理，则的值为（　　）
A. B. C. D.
7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（　　）
A. B. C. D. -1
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，若，则的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，则下列说法正确的有（　　）
A. B.
C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z是方程x2-4x+6=0的一个复数根
10.已知向量=（-2，1），=（1，t），则下列说法正确的是（　　）
A. 若∥，则t的值为2
B. 当t=2时，求与夹角为90°
C. 若在方向上的投影为，则t=7
D. 若与夹角为钝角，则t的取值范围是t＜2
11.已知a,b,c分别为△ABC内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（　　）
A. 若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C. 若，，且△ABC有两解，则b的取值范围是
D. 若cos2A+cos2B＜1+cos2C，则△ABC为锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足||=1，|+|=2，且，则= .
13.在△ABC中的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,重心为G，若2a+b+3c=，则cos（π-B）= .
14.已知，，是同一平面上的3个向量，满足，，，且向量-与-的夹角为，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量.
（1）若，求x的值；
（2）若，求x的值.
16.(本小题15分)
如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得C，D相距21km.
（1）求sin∠BDC；
（2）求D，A之间的距离.
17.(本小题15分)
已知在△ABC中，N为AB中点，，，.
（1）若∠BAC=60°，求；
（2）设和的夹角为θ，若，求证：CN⊥AB；
（3）若线段NC上一动点P满足，试确定点P的位置.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=1，.
（1）求角A；
（2）若D是线段BC的中点，且AD=1，求S△ABC；
（3）若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，扇形ABC是一块半径r=2（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道.记∠PAB=θ.
（1）若点P是弧BC的中点，求三条街道的总长度；
（2）通过计算说明街道RQ的长度是否会随θ的变化而变化；
（3）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300、200、400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值.（精确到1万元）
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】BC
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】-
14.【答案】
15.【答案】-9；
-．
16.【答案】解：（1）根据题意，在△BCD中，BD=20km,CD=21km,BC=31km,
在△BCD中，由余弦定理得，
结合0°＜∠BDC＜180°，可得；
（2）由sin∠BDC=，得sin∠ADC=sin（π-∠BDC）=，
由题意知∠CAD=20°+40°=60°，
在△ACD中，由正弦定理得，所以AC===24km,
由余弦定理AC2=AD2+CD2-2AD CDcos∠ADC，
可得AD2+441-6AD=576，整理得AD2-6AD-135=0，解得AD=15km或AD=-9km（舍去）．
所以AD=15km,即D、A之间的距离为15km.
17.【答案】；
证明见解答；
点P为线段NC的中点．
18.【答案】解：（1）a=1，，
根据正弦定理得：，化简得sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=2sinBcosA，
又A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C），∴sinB=2sinBcosA，
∵sinB＞0，∴，
∵A∈（0，π），∴；
（2）由（1）及余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即1=b2+c2-bc,①
又∵，∴，
∴，②
由②×4-①得：，
∴．
（3）由（1）得，则，即，
由正弦定理可知，，
∴．
∵△ABC为锐角三角形，∴，，
∴，，∴，∴，
∴，则△ABC的周长的取值范围为．
19.【答案】解：（1）∵若P是弧BC的中点，∴P位于∠BAC的角平分线上，
∵，∴∠PAB=，
则|PQ|=|PR|=|PA|sin∠PAB=2×sin=2×=1，
|AQ|=|PA|cos∠PAB=2×=，
∵∠BAC=，
∴△QAB为等边三角形，
则|RQ|=|AQ|=，
三条街道的总长度l=|PQ|+|PR|+|RQ|=1+1+=2+．
（2）∠PAB=θ，0＜θ＜，
则|PQ|=|AP|sinθ=2sinθ，|PR|=|AP|sin（-θ）=2sin（-θ）=cosθ-sinθ，
|AQ|=|AP|cosθ=2cosθ，|AR|=|AP|cos（-θ）=2cos（-θ）=cosθ+sinθ
由余弦定理可知：|RQ|2=|AQ|2+|AR|2-2|AQ||AR|cos，
=（2cosθ）2+（cosθ+sinθ）2-2×2cosθ（cosθ+sinθ）cos
=4cos2θ+cos2θ+3sin2θ+2sinθcosθ-2cos2θ-2sinθcosθ
=3sin2θ+3cos2θ=3，
则|RQ|=，为定值，
即RQ的长度不会随θ的变化而变化．
（3）设三条街道每年能产生的经济总效益W，W=|PQ|×300+|PR|×200+|RQ|×400
=300×2sinθ+（cosθ-sinθ）×200+400=400sinθ+200cosθ+400
=200（2sinθ+cosθ）+400
=200（sinθ+cosθ）+400，
设cosφ=，sinφ=，则tanφ=tanφ=，
则W=200sin（θ+φ）+400，
当sin（θ+φ）=1时，W取最大值，最大值为200+400≈1222，
即三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．
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