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2025-2026学年江苏省泰州市姜堰二中高二（下）第一次学情检测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（　　）
A. 53种 B. 35种 C. 种 D. 种
2.已知直线l的方向向量，平面α的法向量，若直线l与平面α平行，则实数x的值为（　　）
A. 7 B. -7 C. 2 D. -2
3.已知空间向量，若共面，则实数m的值为（　　）
A. 0 B. -1 C. 1 D. ±1
4.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种
5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A. B. C. D.
6.已知（3-x）（2x-3）8=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a9（x-1）9，则a6=（　　）
A. -1792 B. 1792 C. -5376 D. 5376
7.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e≈2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数e的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2不相邻，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（　　）
A. 36 B. 48 C. 72 D. 120
8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，MN是异面直线AC与C1D的公垂线段，点M在AC上且N在C1D上，则MN的长为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在的二项展开式中，下列结论正确的是（　　）
A. 常数项是60 B. 各项系数之和是64
C. 二项式系数最大值是20 D. 不含x3的项
10.下列等式正确的是（　　）
A. =210 B. =
C. =0 D.
11.在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=4，A1B1=AA1=2，∠ABC=90°，则下列说法正确的是（　　）
A. BC⊥AB1 B. AB1⊥平面BCC1B1
C. 三棱台ABC-A1B1C1的体积为 D. 直线A1B与CC1所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a∈Z，且0≤a≤13，若512016+a能被13整除，则a等于 .
13.某市为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有 .
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1=C1D1=2，C1B1=1，点P为线段BC1上一动点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7：6.
（1）求n的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）若（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，求|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|的值.
16.(本小题15分)
如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设.
（1）试用向量表示向量；
（2）若|OA|=|OC|=4，|OB|=2，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求的值.
17.(本小题15分)
为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.
（1）一共有多少不同的分组方案？
（2）在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A、B、C、D、E、F六名女老师进行训练，经训练发现E不能站在5号位，若A、B同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
18.(本小题17分)
（Ⅰ）我们学过组合恒等式，实际上可以理解为，请你利用这个观点快速求解：.（计算结果用组合数表示）
（Ⅱ）
（i）求证：；
（ii）求值：.
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=.

（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
（2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】BD
11.【答案】ABC
12.【答案】12
13.【答案】540
14.【答案】
15.【答案】10 -8064 59049
16.【答案】（1） （2）
17.【答案】解：（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女，
①若两组都是3女2男，
则先将6女平均分成两组共种方式，
再将4男平均分成两组共种方式，
所以两组都是3女2男的情况有种；
②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种，
所以总情况数为60+60=120种．
故一共有120种不同的分组方案；
（2）总共可分为三种情况，如下：
①若AB上场且E不上场：
先将AB全排列，共有种方式，
再把AB捆绑后和CDF全排列共有种方式，
所以AB上场且E不上场共有种不同的排列方式；
②若AB上场且E也上场：
（i）若E在1号位，先将AB全排列，共有种方式，
再从CDF中选两人，有种方式，
则AB捆绑后和CDF中的两人全排列，有种方式，
所以E在1号位共有种不同的方式；
（ii）若E在2号位，
再将AB全排列，且AB可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式，
再从CDF中选两人进行排列，有种方式，
所以E在2号位或3号位共有种不同的方式；
（iii）若E在3号位，
再将AB全排列，且AB可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式，
再从CDF中选两人进行排列，有种方式，
所以E在2号位或3号位共有种不同的方式；
（iiii）若E在4号位，
将AB全排列，且AB可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式，
再从CDF中选两人进行排列，有种方式，
所以E在4号位共有种不同的方式．
所以AB上场且E也上场共有36+24+24+24=108种不同的方式；
③若AB中有一人上场且E上场：
E上场且不在5号位，则E可位于1，2，3，4号位，有种方式，
再从AB中选一人，有种方式，
AB中的一人和CDF共4人全排列，共种方式，
所以AB中有一人上场且E上场共有种不同的排列方式．
综上所述，共有48+108+192=348种排列方式．
18.【答案】解：（1）由已知结合组合数性质可知，
=4+6+6+4+4++
=+4+6+4+
=++3+3+3+4++
=
=+2+
=
=
=；
证明：（Ⅱ）（i）；
（ii）
=
=
，
由（1）得，
则有，
原式=，
构造数列{an}，令，
则，
所
=
=，
所以an+1=an-an-1，即an+2=an+1-an=（an-an-1）-an=-an-1，
所以an+6=-an+3=an，即数列{an}是周期为6的数列．
又因为a1=1，a2=0，a3=-1，a4=-1，a5=0，a6=1，…a,2023=a1=1，a2025=a3=-1，
所以．
19.【答案】（1）证明：因为平面，平面，
所以PAAD，
又因为ADPB，PAPB=P，平面PAB，
所以AD平面PAB，
又AB平面PAB，
所以ADAB，
因为AB=，BC=1，AC=2，
所以+=，
所以BCAB，BC、AB、AD 平面ABCD，
所以ADBC，
又AD平面PBC，BC平面PBC.
所以AD平面PBC.
（2）因为ADDC，以D为原点，分别以DA，DC为x，y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=a>0，则DC=，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0,,0)，P(a,0,2)，
设平面DCP的一个法向量=(,,)，
因为，，
所以，即，
可取=(2,0,-a)；
又=(0,0,2)，=(-a,,0)，
设平面ACP的一个法向量=(,,)，
所以即，
取=(,a,0)，
因为二面角A-CP-D的正弦值为，
所以余弦值的绝对值为.
所以由===，
得=3，a=，
因此AD=.
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