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2025-2026学年江苏省扬州市宝应中学、高邮中学高二（下）学情检测数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则f′（2）=（　　）
A. B. 6 C. 3 D. -6
2.已知向量与共线，则实数k=（　　）
A. 0 B. 1 C. -1或2 D. -2或1
3.函数f（x）=ex+e-x（e为自然对数的底数）在（0，+∞）上（　　）
A. 有极大值 B. 有极小值 C. 是增函数 D. 是减函数
4.在四面体ABCD中，点E满足，F为BE的中点，且，则实数λ=（　　）
A. B. C. D.
5.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，SD⊥平面PAC，P为侧棱SD上的点，则二面角P-AC-B的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.若函数f（x）=xex-（m-1）e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是（　　）
A. B. C. m＜1 D. m≤1
8.已知λ＞0，对任意的x＞1，不等式e2λx-≥0恒成立，则λ的取值范围为（　　）
A. [2e,+∞） B. C. [e,+∞） D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D. 若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α
10.已知函数f（x）=x+a（1-ex），则下列说法正确的有（　　）
A. 若a＞0，则f（x）有最小值 B. 若a=1，则f（x）的极小值为0
C. 若a＜0，则f（x）＜f（x2+1） D. 若a＞2，则f（x）的最大值大于2-a
11.函数f（x）=ex-alnx,则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的图象过定点
B. 当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增
C. 当a=1时，f（x）＞2恒成立
D. 存在0＜a＜e,使得f（x）与x轴相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CC1=CB=4，AC⊥CB，且D为AB的中点，，则DE的长为 .
13.已知函数f（x）=2x+a，g（x）=lnx-2x，如果对任意的，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是______．
14.已知函数f（x）=ex-ax2（a∈R）有两个极值点x1，x2，且x1=2x2，f′（x）为函数y=f（x）的导函数，则y=f′（x）的所有零点和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，，.
（1）求的值；
（2）求.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3-ax2-3x（a∈R）.
（1）若x=3为y=f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，4]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为AD的中点，点P为BD1中点，且AA1=4，AB=BC=2.
（1）求点P到平面CD1E的距离；
（2）求直线BP与平面PEC所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=xlnx.
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知函数，求g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax-e（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知
（1）若函数f（x）在区间（0，+∞）单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：f（x1）+f（x2）＜6-lna.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】CD
11.【答案】AC
12.【答案】
13.【答案】（-∞，ln2-8]
14.【答案】3ln2
15.【答案】-6
16.【答案】解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）=3x2-2ax-3，f′（3）=0，
则27-6a-3=0，解得a=4，
故f′（x）=3x2-8x-3，令f′（x）=0，即3x2-8x-3=（3x+1）（x-3）=0，
解得或x=3，
当或x＞3时，f'（x）＞0，当时f'（x）＜0，
所以f（x）在和（3，+∞）上单调递增，在上单调递减，
所以x=3是f（x）的极小值点，故f（x）=x3-4x2-3x,
所以f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，
故f（x）在[1，4]上的最小值是f（3）=-18，最大值是f（1）=-6；
（2）f′（x）=3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，故，
设，当x≥1时，是增函数，其最小值为g（1）=0，
故a≤0，即实数a的取值范围为（-∞，0]．
17.【答案】
18.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+x =lnx+1，
所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1，
又f（1）=0，
所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=1×（x-1），即y=x-1．
（Ⅱ）g（x）=+=+=lnx+，x＞0，
g′（x）=-2 =，
令g′（x）=0，得x=2或-2（舍），
所以在（0，2）上g′（x）＜0，g（x）单调递减，
在（2，+∞）上g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．
（Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax-e,
则若对于任意，都有xlnx≤ax-e
即若对于任意，都有lnx+≤a,
令h（x）=lnx+，x∈[，2e]，
h′（x）=-=，
令h′（x）=0，得x=e,
所以在（，e）上h′（x）＜0，h（x）单调递减，
在（e,2e）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，
又h（）=-1+e2，h（e）=2，
所以h（）＞h（e），
所以h（x）max=-1+e2，
所以a≥-1+e2，
所以a的取值范围为[-1+e2，+∞）．
19.【答案】[4，+∞） （i）（0，4）；（ii）证明：由（i）知，x1+x2=4，x1x2=a，0＜a＜4，
所以
=，
因此要证f（x1）+f（x2）＜6-lna，即证4-alna+a＜6-lna，
即证（1-a）lna+a-2＜0，
构造函数h（a）=（1-a）lna+a-2，0＜a＜4，
则，
又在（0，4）上显然恒成立，
所以h′（a）在（0，4）上单调递减，
又h′（1）=1＞0，，
由函数零点存在性定理可得， a0∈（1，2），使得h′（a0）=0，即，即a0lna0=1；所以当a∈（0，a0）时，h′（a）＞0，则h（a）单调递增；当a∈（a0，4）时，h′（a）＜0，则h（a）单调递减；所以h（a）≤h（a0）=（1-a0）lna0+a0-2=lna0-a0lna0+a0-2=lna0+a0-3，
又y=lna0+a0-3在a0∈（1，2）上显然单调递增，
所以lna0+a0-3＜ln2+2-3=ln2-1＜0，
所以h（a）＜0，即（1-a）lna+a-2＜0，
故f（x1）+f（x2）＜6-lna
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