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2025-2026学年辽宁省沈阳市朝鲜族一中高二（下）月考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知各项均为正数的数列{an}中，a1=2，，则a20=（　　）
A. 400 B. 600 C. 800 D. 1000
2.记Sn是等差数列{an}的前n项和，S3=4，S6=12，则a8=（　　）
A. 4 B. C. D. 8
3.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
4.已知数列{an}满足，则a10=（　　）
A. 210-1 B. 211+1 C. 210+1 D. 211-1
5.数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n,点（n,Sn）在函数f（x）=x2+2x的图象上，且n≥1），则数列{bn}的前n项和Tn=（　　）
A. B.
C. D.
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3+S3=2，a6+S6=6+S3，则=（　　）
A. B. C. D.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且，则=（　　）
A. 1012 B. 1013 C. 1014 D. 1015
8.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=（2n-1） 2n，设，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn＜t对n∈N*恒成立，则实数t的最小值是（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a4=-5，a10=1，则下列结论正确的有（　　）
A. a7=-2 B. 公差d=1
C. S5=30 D. 当n=8或n=9时，Sn最小
10.已知数列{an}的首项a1=3，且满足，下列说法正确的有（　　）
A. a2=2
B. 数列{nan}为等差数列
C. 数列{（an-1）（an+1-1）}的前n项和大于4
D. 数列{an an+1}为单调递减数列
11.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{an}满足a1=0，，则（　　）
A. a4=6
B. an+2=an+2（n+1）
C.
D. 数列{（-1）nan}的前2n项和为n（n+1）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列{an}满足a1=-1，，则a100=______．
13.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时，增加的项是 .
14.在各项均为正数的等比数列{an}中公比q∈（0，1），若a3+a5=5，a2 a6=4，bn=log2an，记数列{bn}的前n项和为Sn.则+++ +的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a5=8，S6=33.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Tn，若λTn＜an对 n∈N*恒成立，求λ的取值范围.
17.(本小题17分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且.
（1）证明：数列{an}是等差数列；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Bn；
（3）若，求数列{cn}的前n项和Cn.
18.(本小题15分)
为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表：
编号 1 2 3 4 5
x 10 20 30 40 50
y 70 80 100 120 130
（1）若该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于x的回归直线方程.（参考数据：）
（2）基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了160位学生.按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下2×2列联表：
成绩没有进步 成绩有进步 合计
参与课后自主学习 5 135 140
未参与课后自主学习 5 15 20
合计 10 150 160
依据α=0.001的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关.
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
χα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-1，n∈N*，数列{bn}满足nbn+1-（n+1）bn=n（n+1），n∈N*，且b1=1.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若，数列{cn}的前n项和为Tn，对任意的n∈N*，都有Tn≤nSn-a,求实数a的取值范围.
（3）是否存在正整数m,n使b1，am，bn（n＞1）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的m,n,若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】18
15.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由，得，解得，
所以an=4+2（n-1）=2n+2；
（2）由（1）可知（2n+2）+bn=3n-1，则bn=3n-1-（2n+2），
所以Sn=30+31++3n-1-（4+6+8++2n+2）
=-（4+2n+2）=-n2-3n．
16.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d,
又a1+a5=8，S6=33，
则，
则，
则an=-2+3（n-1）=3n-5；
（2）由（1）可得：==，
则=，
又λTn＜an对 n∈N*恒成立，
则对 n∈N*恒成立，
即对 n∈N*恒成立，
又当n=1时，取最小值-8，
即λ＜-8，
即λ的取值范围为（-∞，-8）．
17.【答案】证明见解析；
（n-1）2n+1+2；
．
18.【答案】；
在犯错概率不超过0.001的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关．
19.【答案】解：（1）当n=1时，S1=2a1-1=a1，所以a1=1．
当n≥2时，Sn=2an-1，Sn-1=2an-1-1，
两式相减得an=2an-1，又a1=1，所以=2，
从而数列{an}为首项a1=1，公比q=2的等比数列，
从而数列{an}的通项公式为an=2n-1．
由nbn+1-（n+1）bn=n（n+1），两边同除以n（n+1），得-=1，
从而数列{}为首项b1=1，公差d=1的等差数列，所以=n,
从而数列{bn}的通项公式为bn=n2．
（2）由（1）得，cn=an=n 2n-1，
于是Tn=1×1+2×2+3×22+…+（n-1）×2n-2+n×2n-1，
所以2Tn=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n，
两式相减得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n，
所以Tn=（n-1）2n+1，
由（1）得Sn=2an-1=2n-1，
因为对 n∈N*，都有Tn≤nSn-a,即（n-1） 2n+1≤n（2n-1）-a恒成立，
所以a≤2n-n-1恒成立，记dn=2n-n-1，所以a≤（dn）min,
因为dn+1-dn=[2n+1-（n+1）-1]-（2n-n-1）=2n-1＞0，从而数列{dn}为递增数列，
所以当n=1时，dn取最小值d1=0，于是a≤0．
（3）假设存在正整数m,n,使b1，am，bn（n＞1）成等差数列，则么b1+bn=2am，即1+n2=2m，
若n为偶数，则1+n2为奇数，而2m为偶数，上式不成立．
若n为奇数，设n=2k-1（k∈N*），则1+n2=1+（2k-1）2=4k2-4k+2=2m，
于是2k2-2k+1=2m-1，即2（k2-k）+1=2m-1，
当m=1时，k=1，此时n=2k-1=1与n＞1矛盾；
当m≥2时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立．
综上所述，满足条件的m,n不存在．
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