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2025-2026学年天津二十一中高二（下）段考数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共9小题，共36分。
1.下列求导运算正确的是（　　）
A.
B. [（x2+2）sinx]′=2xsinx+（x2+2）cosx
C.
D.
2.函数f（x）=x+cosx在区间[0，π]上的最大值是（　　）
A. 1 B. C. π-1 D. π
3.某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（　　）
A. 192种 B. 120种 C. 96种 D. 24种
4.已知函数f（x）=x3+2ax2+a2x在x=1处取得极小值，则a的值为（　　）
A. -1或-3 B. -1 C. 或1 D. -3
5.现在从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同的安排方法的种数是（　　）
A. 120 B. 1440 C. 2880 D. 7280
6.某中学举行全区教研活动，有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（　　）
A. B. C. D.
7.某箱子的容积V与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为（　　）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 其他
8.f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＜0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（　　）
A. af（b）＜bf（a） B. bf（a）＜af（b）
C. af（a）＜bf（b） D. bf（b）＜af（a）
9.已知函数f（x）=aex-x2+3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知函数f（x）=5lnx-2f′（1）x2-1，则f（x）在x=1处的切线方程为 .
11.用0、1、2、3、4可组成 个无重复数字的三位奇数.
12.已知函数f（x）=x2+mx+lnx是单调递增函数，则m的最小值是 .
13.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有 种（用数字作答）.
14.已知函数f（x）=x2-2lnx若关于x的不等式f（x）-m≥0在[1，e]有实数解，则实数m的取值范围为______．
15.过点（0，t）有且只有一条直线与曲线相切，则实数t的取值范围是 .
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知函数.
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间和极值.
17.(本小题13分)
已知f（x）=-x3+ax2+bx+c（a,b,c∈R），且.
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-2，2]上的最大值为4，求函数f（x）在上的最小值.
18.(本小题14分)
已知函数f（x）=-alnx+（2a+1）x-x2.
（1）讨论f（x）的单调性.
（2）求证：若a＞0，f（x）有且仅有一个零点.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】x-y-4=0
11.【答案】18
12.【答案】
13.【答案】144
14.【答案】（-∞，e2-2]
15.【答案】{0}∪（，+∞）
16.【答案】2ex-y+e=0 单调递增区间为（-∞，-1）和，单调递减区间为（-1，0）和；极大值为，极小值为
17.【答案】（Ⅰ）a=-1，b=1．
（Ⅱ）1．
18.【答案】当时，f（x）在（0，a）和上单调递减，在上单调递增；当时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当时，f（x）在和（a，+∞）上单调递减，在上单调递增；当a≤0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 由（1）可知当时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又f（1）=1＞0，，
因此存在唯一x0∈（1，e）使f（x0）=0，则f（x）有且仅有一个零点；当时，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a）=a（-lna+a+1），
令g（x）=-lnx+x+1，求导得，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
函数g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）在（1，+∞）上单调递增，
g（x）≥g（1）=2＞0，即f（a）＞0，，
当x→+∞时，-alnx→-∞，（2a+1）x-x2→-∞，则f（x）→-∞，
因此存在唯一使f（x1）=0，则f（x）有且仅有一个零点；当时，函数f（x）在处取得极小值，
，
同理存在唯一x2∈（a，+∞）使f（x2）=0，则f（x）有且仅有一个零点；所以f（x）有且仅有一个零点
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