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2025-2026学年天津市西青区津衡高级中学高二（下）质检数学试卷（二）（3月份）
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.=（　　）
A. 10 B. 5 C. 20 D. 4
2.曲线f（x）=x2lnx-2x+2在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
3.下列式子不正确的是（　　）
A. （3x2+cosx）′=6x-sinx B. [（x2+3）8]′=8（x2+3）7 2x
C. D. （2sin2x）′=2cos2x
4.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）
A. 72种 B. 96种 C. 108种 D. 120种
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差不为0，若a4，a5，a7构成等比数列，S11=66，则a8=（　　）
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
6.已知圆C：x2+y2-4x-m+9=0与直线相交于A，B两点，若△ABC为正三角形，则实数m的值为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.若函数f（x）=-x3+x2+ax+b在x=1处取得极大值3，则f（x）在[-2，1]上的值域为（　　）
A. [-12，3] B. [0，12] C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线与双曲线相交于A，B两点，F1在直线l的左边，与双曲线的一条渐近线交于点E，，则双曲线的方程为（　　）
A. B. C. D.
9.已知函数f（x）=（lnx）2+axlnx-x2有且仅有三个零点，则a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.函数f（x）=lnx+ea在点（1，f（1））处的切线与y=ax平行，则a= .
11.已知数列{an}的前n项和，则{|an|}的前8项和为 .
12.若直线l经过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A，B两点，且|AB|=6，则AB的中点横坐标为 .
13.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F作x2+y2=a2的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率是 .
14.在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn（n∈N*），则数列{an}的通项公式是 ．
15.已知函数f（x）=（ex+e-x-a）（lnx-b）（x-a），若f（x）≥0，则b-2a的最大值为 .
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知函数.
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）在[-2，2]上的单调区间、最值；
（3）设g（x）=f（x）-a在[-2，2]上有两个零点，求a的范围.
17.(本小题14分)
已知椭圆C：的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段AB的垂直平分线与AB交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果∠MOP=2∠MQP，求k的值.
18.(本小题14分)
已知函数.
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a,b的值；
（2）当a=1时，f（x1）=f（x2），且x1≠x2，求证：x1+x2＞2.
（3）若a=1，对任意x1，x2∈（1，2]，不等式恒成立，求m的取值范围.
19.(本小题14分)
已知公差为d的等差数列{an}和公比q＞0的等比数列{bn}中，a1=b1=1，a2+b3=8，a3+b2=9.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn；
（3）若在数列{an}任意相邻两项an、an+1之间插入一个实数cn，从而构成一个新的数列{dn}.若实数cn满足anan+1cn=1，求数列{dn}的前2n项和S2n.
20.(本小题16分)
已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）恰有两个零点x1，x2（其中x1＜x2），
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】1
11.【答案】32
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】an=n+2
15.【答案】-ln2-1
16.【答案】3x+3y-7=0 y=f（x）在[-2，2]上的增区间为[-2，0），减区间为（0，2]，
且最大值、最小值分别为2， [，2）
17.【答案】解：（1）因为椭圆C的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为，
所以，
解得a=2，b=1，，
则椭圆C的方程为；
（2）联立，消去y并整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，
此时Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)＞0，
解得4k2-m2+1＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
所以，
则，，
所以直线PQ的方程为，
令x=0，解得，即，
因为M（0，m），所以点N，P在原点两侧，
因为∠MOP=2∠MQP，所以∠PQO=∠OPQ，
所以|OP|=|OQ|，
因为，，
所以（km≠0），
整理得16k2+1=9，
所以k=．
18.【答案】a=-2， 证明：当a=1时，（x＞0），
则．
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
由于f（x1）=f（x2），且x1≠x2，故不妨设0＜x1＜1＜x2，
则要证明x1+x2＞2，即证x2＞2-x1，而2-x1＞1，
当x＞1时，f（x）单调递增，故只需证f（x2）＞f（2-x1），
又f（x1）=f（x2），所以只需证f（x1）＞f（2-x1）．
令g（x）=f（x）-f（2-x），x∈（0，1]，
则可得g（x）=，x∈（0，1]．
所以，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，故g（x）＞g（1）=0．
即当x∈（0，1）时，f（x）＞f（2-x），即有f（x1）＞f（2-x1），
即x1+x2＞2 （-∞，0]
19.【答案】an=3n-2，
20.【答案】3x-y+2=0 ①实数a的取值范围是（0，1）；②证明：由①知，，
要证，只需证，即证明，
令，则，
则u（a）在（0，1）上单调递增，∴u（a）＜u（1）=0，
即，∴；取，则，
则，
令，则k＞2，f（lnk）=k-lnk，
设q（k）=k-lnk，则，则q（k）在（2，+∞）上单调递增，
则q（k）＞q（2）=2-ln2＞0，即，故，
要证，只需证，
令，则且t＞2，
只需证明，
令，
则，
∴v（t）在（2，+∞）上单调递减，∴，
即，从而得证．
综上所述，
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