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2026年陕西省榆林市高考数学模拟试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.若，则的值为( )
A. B. ． C. D. ．
4.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与轴和双曲线的右支分别交于点和点不是顶点，使得，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上，则的值是( )
A. B. C. D.
7.函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则( )
A. B.
C. D.
8.已知函数在上有零点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列选项正确的是( )
A. 椭圆的焦距为
B. 的周长为
C. 的最小值为
D. 椭圆上不存在点，使得
10.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 若，则的最大值为
D. 若，则面积的最大值为
11.对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有个和个给出下列方格图，可“连续完美分割”的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积为 ．
14.已知函数，，若函数与的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年新春，我市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了幅剪纸作品，检测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示．
求的值，并估计该工坊生产剪纸的质量指标值的中位数用分数作答；
新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于为“新春优品剪纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数为，且各件产品是否为“优品”相互独立求的分布列并计算数学期望与方差．
16.本小题分
在数列中，．
求证：数列是等差数列；
令，数列的前项和为，证明：．
17.本小题分
如图，是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，且，．
求抛物线的标准方程；
过焦点作直线交抛物线于，两点，直线为的顶点交的准线于点，求证：；
在的前提下，求的最小值．
18.本小题分
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面例如：正四面体在顶点处的离散曲率为如图，在三棱锥中．
求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和；
若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．
求点到平面的距离；
若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
比较函数与的大小关系；
设，讨论函数的零点个数；
在的条件下，若函数有三个不同的零点，，，且，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意结合频率分布直方图的性质可得，
得，
由图知，中位数在区间内，设中位数为，
则，解得；
通过频率分布直方图计算得：优品，即，
由题意可知：服从二项分布，即．
由二项分布概率公式得：
；
；
；
；
；
所以的分布列为：
；
．
16.证明：由，
两边同时除以，可得，
所以是首项为，公差为的等差数列．
由，
可得，
，
，
得，
，所以，
又，即．
17.解：因为，，
所以，
此时，
解得，
则抛物线的方程为；
证明：易知抛物线的焦点为，准线，
设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
又，
所以直线的方程为，
代入准线中，
可得，
因为，
所以，
此时，
则；
令，
此时，
即，
所以，
因为、、在一条直线上，
所以与同向共线，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
则的最小值为．
18.解：由离散曲率的定义得：
，
，
因为，同理可得其他三个三角形内角和为，
所以；
由平面，平面，得，
又，，，平面，则平面，
由平面，得，即，
又，即，解得．
过点作于点，由平面，平面，得，
又，，平面，则平面，
因此点到平面的距离为线段的长．
在中，，所以，点到平面的距离为；
存在，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
所以，
设，则，
设与平面所成的角为，因为，所以，
设平面的法向量，
则即
令，则，，得
则，
整理得，解得：，
所以，所以．
19.解：令，，
则，
所以在单调递减．
因为，
所以当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
综上，当时，；当时，；当时，；
解法：，
所以函数的定义域为，
且，
因为，
所以为函数的一个零点，
令，．
当时，，在单调递增，
又因为，
所以只有个零点；
当时，，，即，
所以在单调递减，
又因为，
所以只有个零点；
当时，，
令，记其两根分别为，，
因为，所以．
当时，，；
当时，，；
当时，，，
因此在单调递减，在单调递增，在单调递减，
所以，．
又时，，时，，
因此唯一的，，使得，．
故当时，有个零点；
解法：，
函数的定义域为，
因为，所以为函数的一个零点；
令，．
当时，，
在单调递增，
又因为，所以只有个零点；
当时，，，即，
在单调递减，又因为，
所以只有个零点；
当时，，令，记其两根分别为，，
因为，所以．
当时，，；
当时，，；当时，，，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以，．
由可知当时，，
即，
，
取，
则，因此存在唯一的，使得．
由知当时，，即，
，
取，
则，因此存在唯一的，使得．
故当时，有个零点；
综上，当时，只有个零点；当时，有个零点；当时，只有个零点；
证明：由知，，
因为，
所以，
又因为，所以．
又，
因此，
，
令，
则，
所以在上单调递增，．
因为，所以，
即，
又，
因此，
即．
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