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大庆市 2026 届高三年级第三次教学质量检测 数 学
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号:非选择题答案使用 0.5 毫米黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3. 请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 双曲线 的渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 已知向量 ，若 ，则
A. B. C. D.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. -1 B. 0 C. 3 D. 5
6. 已知函数 其中 且 . 若函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数 及其导函数 的定义域都是 ,若函数 是偶函数,函数 也是偶函数,则不等式 的解集是
A. B. c. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 一组数据 的平均数为 5,方差为 2,极差为 7,中位数为 6,记 , 的平均数为 ,方差为 ,极差为 ,中位数为 ,则下列结论正确的是
A. B. C. D.
10. 已知函数 若函数 有 4 个零点 ,且 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D. 的取值范围为
11. 棱长为 1 的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点(如图 1) 则下列结论正确的是
图 1
图 2
A. 平面 截正方体所得截面的形状为六边形
B. 异面直线 与 所成角为
C. 若点 为平面 上的动点，且直线 与 所成角为 ，则动点 的轨迹长度为
D. 若 交于点 ，正方形 的四个顶点在其所在平面内绕着点 逆时针旋转 ，得到一个十面体 (如图 2)，则该十面体的体积为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 的展开式中 的系数是_____. (用数字作答)
13. 数列 满足 ，则 _____；若对于任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
14. 在平面直角坐标系 中,圆 是以原点为圆心 2 为半径的圆,直线 与抛物线 和圆 分别相切于 ， 两点，当 最小时， 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
在 中,内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若点 为 边上靠近点 的三等分点，且 ，求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
如图，在三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ， ，平面 平面 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17.(本小题满分 15 分)
随着 deepseek 等人工智能大模型的快速发展，某市文创体验馆推出了 “AI 创意手作” 的线下体验项目. 为优化运营策略, 运营团队统计了过去 100 天的运营数据, 以各客流量等级的日平均收入作为日收入，整理成如下表格:
客流量等级 小客流 (A) 中客流 (B) 大客流 (C)
天数 30 50 20
日收入(元) 4000 10000 22000
设备发生故障的概率 0.1 0.2 0.4
①设备发生的故障又分为“轻微故障”和“严重故障”，其中设备发生轻微故障的概率为 ，发生严重故障的概率为 ；
②若设备无故障，当日收入不变，无维修费用支出；若设备发生轻微故障，当日收入不变，但需支付维修费 200 元；若设备发生严重故障，当日收入减半，还需支付维修费 1000 元.
已知每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，用频率估计每日的客流量等级的概率.
(1)求该项目在将来某一日客流量等级为中客流且设备发生严重故障的概率；
(2)设该项目在将来某一日的运营总损失为 元(运营总损失=维修费+收入损失)， 求 的分布列和均值.
18.(本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,动点 到点 和点 的距离之和为 4 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)设动点 的轨迹是曲线 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，与圆 交于 两点,不重合的两条直线 与 分别平分线段 .
(i) 求证: 为定值;
(ii) 已知直线 与曲线 交于 两点, 与曲线 交于 两点,且 ，求四边形 面积的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若函数 ,讨论 的单调性；
(2)若函数 有 3 个极值点 ，且 .
(i) 求实数 的取值范围;
(ii) 证明: .
大庆市 2026 届高三年级第三次教学质量检测 数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D B B C D C A B
1. 答案: D
因为复数 ,所以复数 在复平面内对应的点为 ,所以 在复平面内对应的点位于第四象限. 故选: D.
2. 答案: B
化简集合 ,对数函数 要求真数大于 0,即 ,解得 ,即 ,所以 . 故选: B.
3. 答案: B
因为双曲线的焦点在 轴上,所以 ,所以其渐近线方程为 . 故选: B.
4. 答案: C
因为 ,所以 ,解得 ,所以 ,则 , 所以 . 故选: C.
5. 答案: D
设等差数列 的公差为 ,则 ,即 ,
又 ,则由 解得 ，则 . 故选:D.
6. 答案: C
因为 且 ,函数 在 上单调递增,所以
解得 ,综上所述,实数 的取值范围是 . 故选: C.
7. 答案: A
当 时, ,
可得 ，则充分性成立，由 ，可得 ，
利用半角公式可得 ，必要性不成立，
所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选: A.
8. 答案: B
由题意知 ,两边同时求导 ,即 是奇函数,
因为 是偶函数,所以 ,
可得 ,当 时, ,所以 在 上单调递减,
因为函数 是偶函数,所以 ,
可知不等式 等价于 ,所以 ,
即 ,可得 ,解得 ,故选: B.
二、多选题
9 10 11
ABD BC ACD
9. 答案:ABD
由题意可得 . 故选: ABD.
10. 答案: BC
将函数 的图象关于 轴对称过去,并将 轴下方部分的图象翻折到 轴上方,即可得到 的图象,因为 的最小正周期 ,
故在 上有 1 个周期的图象,由此作出函数 的图象,如图:
的零点个数问题,
转化为函数 的图象与直线 的交点个数问题,
由图象可知,当 时, 的图象与直线 有 4 个交点,故 错误;
由图象可知 关于直线 对称,故 ,故 正确;
当 时, 或 ,解得 或 ,从图中可知 ,
所以 ,所以 ,故 正确:
令 ,解得 或 ,
由题意可知, ,由 得 ,
即 ,则 ,即 ,
所以 ,函数 在 上单调递增,则 ,
所以 的取值范围为 ,故 D 错误. 故选: BC.
11. 答案: ACD
对于 ,过 作 ,因为 ,且 ,所以延长 与 交于点 ,再连接 并延长与 的延长线交于 ,与 交于 . 因为 ,设 ,则由 ,可得 ,即 ,解得 ,故 为 的中点. 连接 ,根据面面平行的性质定理可得,平面 与平面 的交线为 ,其中 为 的中点. 同理,再取 的中点
,顺次连接 ,可得平面 截正方体所得截面为六边形 ,故 A 正确;
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对于 ,由图可知 与 所成角为 ,故 错误:
对于 ,由截面的作图过程可知, 平面 ,所以 ,同理 ,所以 平面 . 连接 ,与 交于点 ,则 为正方体的中心,所以 到平面 的距离为 ,在 中, ,所以点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆,所以 点的轨迹长度为 ,故 正确;
对于 ,如图所示,在平面 内,分别过点 作 的平行线,过点 作 的平行线,
设平行线依次相交于点 ,连接 ,则易得 为正方形,
而 是上底面和下底面都是正方形的四棱台，底面边长为 和 1，高为 1，
故 ,
因为 ,
所以 ,故 D 正确. 故选: ACD.
三、填空题
12. 答案: 15
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的展开式通项为 ,
当 ,即 时, ,故答案为: 15 .
13. 答案:
因为 ,所以 ,所以 ,
故 是以 为首项，公比为 2 的等比数列,所以 ,所以 .
由 恒成立,且 ,所以 恒成立,
令 ,由于 ,显然 关于 单调递增,故当 时, ,
所以 . 故答案为: .
14. 答案:
因为圆和抛物线关于 轴对称,所以只需研究与抛物线切于第一象限的直线
此时 ,所以
设 ,则 ,切线方程为 ,
因为直线与圆 相切,则 ,平方可得 ,
因为 ,所以
当且仅当 ,即 ,即 时取 “ ”,此时 .
四、解答题
15. 答案: .
(1) 由正弦定理可得 ,
则 ,
在 中， ，
则 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
又因为 ,所以 . -5 分
(2)法一:由角分线定理，得 ，又在 中， ，
即 ,故 ,解得 ,
因此 ,所以 . -13 分
法二: 因为 ,所以 ,
在 中, ,所以 ①
在 中， ，所以 即 ，②
由 ，得 ， ，
所以 ,得 ,解得 . -13 分
16. 答案: (1)证明见 (2) .
(1) 在 中, ,
由余弦定理可得 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
又因为平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ,所以 平面 . -5 分
(2)因为 为等腰直角三角形，且 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 ,所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,则 ,令 ,则 , 所以平面 的一个法向量为 ,
又因为 轴上平面 ,所以 为平面 的一个法向量,
设平面 与平面 的夹角为 ,则 .
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 . -15 分
17. 答案: (1) ; (2)分布列如下表, .
0 200 3000 6000 12000
79 100
(1) 由频率估计概率,根据表中数据,客流量等级为中客流 的概率为: , 记将来的某一日客流量等级为中客流且发生设备严重故障为事件 ,
则其概率为 ._____ 4 分
(2)该项目将来某一日的运营总损失 的可能取值为 0,200,3000,6000,12000 ， 当 时,当日设备没有发生故障, ; 当 时,当日设备发生轻微故障, ; 当 时,当日为小客流且发生严重故障, ;
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当 时,当日为中客流且发生严重故障, ;
当 时,当日为大客流且发生严重故障, .
所以 的分布列为:
0 200 3000 6000 12000
79 100 7 50
所以 ,—15 分
18. 答案:(1) ；(2)(i)证明见(ii) .
(1) 设 ，由椭圆定义可知，动点 的轨迹为椭圆,其中长轴长 ,焦距 . 由 ,得 ,
所以动点 的轨迹方程为 . -4 分
(i) 由题可知直线 的斜率不为 0,设直线方程为 ,
如图 1,由于直线 平分线段 ,所以直线 与 垂直,所以 .
图 1
设 ,则 ,于是 ,
由于 ,则 ,又 ,则 ,得证.
(ii) 由题可知 ,如图 2,连接 ,则 ,
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图 2
易知 . 令 ,得 ,
则直线 与椭圆的交线段长为 ,
同理可得直线 与椭圆的一个交点坐标为 ,
不妨记为点 ,则 到直线 的距离 ,
所以 ,由题意可知 ,则 ,
所以四边形 面积的最大值 ,
在 时取到. -17 分
19. 答案: (1) 当 时, 在 上单调递增:
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)(i) ；(ii)证明见解析.
(1) , 当 时, ,则 在 上单调递增; 当 时,令 得 , 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减.
综上所述,当 时, 在 上单调递增;
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减. -4 分
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(2)(i) 令 ，得 ，设 ，则 ， 由 解得 或 0 ;
当 时, 在 上单调递减:
当 时, 在 上单调递增:
当 时, 在 上单调递减;
所以当 时, 有极小值 0 ; 当 时, 有极大值 ;
且当 时, ; 当 时, ;
要使函数 有 3 个极值点,则 有三个变号零点,即直线 与函数 的图象有 3 个交点.
所以 ,故 的取值范围为 . -9 分
附:函数 的图象,
(ii) 由图象可知, ,满足 由②③可得 ,
两式作差可得 ,则由对数均值不等式可得 ,则 ,
下证对数均值不等式: ,
令 ,则 ,令 ,
,则 在 单调递增,
所以 ,即 ,故 成立;
故要证 ,只需证 ,
又因为 ,则 ,又因为 ,故 ,
所以 ,故只需证 ,
设函数 ,则 ,
当 时， ，则 在 上单调递增；当 时， ，则 在 上单调递减；
故 ,即 .
又因为 ,
故 成立，命题得证. -17 分

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