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数学试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求)
1. 在复平面内,复数 对应的点的坐标是 ,则
A.
B.
C.
D.
2. 小明每周末都会在骑行和跑步中选择一个项目进行锻炼且只选择一项. 如果选择跑步的概率为 ,则小明选择骑行的概率为
A. B.
C. D. 1
3. 已知 ,则 的值为
A. B.
C. D.
4. 抛物线 的焦点坐标是
A. B.
C. D.
5. 设 为实数，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 函数 的振幅,初相分别是
A. B.
C. D.
7. 已知函数 ,若函数 在点 处的切线过点 ,则
A. -1 B. 1
C. D.
8. 将正方形 沿对角线 折起,使点 不在平面 内,则在翻折过程中,当二面角 为 时，则异面直线 与 的夹角余弦值为
A. B.
C. D.
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知平面向量 ,则
A. B.
C. D.
10. 内角 的对边分别为 ,已知 ,则
A. B.
C. D.
11. 已知双曲线 的左焦点为 ,过坐标原点 作直线与双曲线的左、右两支分别交于 两点,且 ,则
A.
B. 双曲线 的离心率为
C. 与双曲线 有两个交点
D. 的内心在 轴上
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 设集合 ，则 _____.
13. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ，则 _____.
14. 已知函数 有 2 个极值，则 的取值范围是_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知数列 的前 项和 .
(1) 求 ;
(2)若数列 的前 项和为 ，求证 .
16. (本小题满分 15 分)
2026 年 3 月, 小马智行与如祺出行共建 Robotaxi 车队, 无人驾驶技术逐步商业化落地. 甲、乙两种自动驾驶算法各进行 次紧急制动测试,反应时间 (单位: 秒) 分别为: 与 . 已知 .
(1)求甲、乙两组数据的方差 ；
(2)若规定:当 时，认为甲算法显著优于乙(其中 为判定系数). 若 ,
(i) 现取 ,判断甲是否显著优于乙;
(ii) 若要使 “甲算法显著优于乙” 成立,求 的最大整数值.
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 的左、右顶点分别为 是 上异于 的一动点. 分别为直线 的斜率,且 .
(1)求 的值；
(2)若直线 与直线 交于点 ,且 ,求 的面积.
18. (本小题满分 17 分)
如图,已知四棱台 ,底面 是边长为 4 的正方形, 平面 是 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(3)若球 与三棱锥 的所有面都相切，球 的半径为 ，求 .
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 ，其中 .
(1) ,
(i) 当 时,讨论 的单调性;
(ii) 若存在 ,使得 成立,求 的取值范围;
(2)当 时,证明: 对任意的 .
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C A D A D
1. ∵在复平面内,复数 对应的点的坐标是 ,故选 B.
2. 小明选择骑行的概率为 ,故选 C.
3. ,故选 A.
4. 抛物线 的标准方程为: ,故抛物线 的焦点坐标为 ,故选 .
5. 由 ,可得 或 ,“ 或 ” 不能推出 “ ”,而 “ ” 能推出 “ 或 ”, “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件,故选 A.
6. 函数 振幅是 1,初相是 ,故选 D.
7. 由题意得,函数 ,定义域为 , ,则 ,切线方程为 ,因切线过点 , 代入得 ,解得 ,故选 A.
8. 取 的中点 ,连接 为二面角 的平面角, ,取 的中点 ,连接 , 则 ,所以 或其补角是异面直线 与 的夹角. 设 , 则 ,可得 ,由余弦定理可得, ,故选 D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 ABD ACD BC
9. 平面向量 ,所以 , ,所以 , ,所以 不对,故选 .
10. 因为 ,所以 ,由正弦定理可得 ,又 , 所以 . 因为 ,所以 ,故 ,所以 ,故选 ACD.
11. 设双曲线的右焦点为 ，因为 ，所以 . 又 ， 解得 ,因为 ,所以 . 由余弦定理得 ,所以 ,解得 ,则双曲线的渐近线方程为 ,所以 与双曲线 有两个交点. 假设 的内心在 轴上,则有 ,直线 过坐标原点 , 所以 ,即需要 ,矛盾,故选 BC.
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
题号 12 13 14
答案 4
12. 由已知可得 ,所以
13. 由题意可得, ,设公比为 ,则 .
14. 由题意, 有 2 个极值等价于 有 2 个变号零点. 令 ,当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减,当 时, ,当 时, , ,解得 ,故 的取值范围是 .
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
(1)解:由数列 的前 项和 ，
,
解得 . (3 分)
当 时, ; (4 分)
当 时, , (6 分)
经验证, 满足上式,故 . (7 分)
(2)证明: , (10 分)
(13 分)
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) 由题意可得: ,
(2 分)
,同理可得 .
(5 分)
(2)(i)由(1)可得 ，
当 时, , (8 分)
,可认为甲算法显著优于乙. (10 分)
(ii) 由 (i) 可得 ,
(13 分)
故 的最大整数值为 4 . (15 分)
17. (本小题满分 15 分)
解: (1) ,设 ,
则 ,
(4 分)
解得 . (6 分)
(2)设直线 ，则 ，
联立 ，得: ， (8 分)
解得 .
因为 ,即 ,解得 ,
(11 分)
(15 分)
18. (本小题满分 17 分)
(1)证明:如图，连接 ， 是 的中点，
所以 ，且 ，所以 为平行四边形,
所以 . (2 分)
平面 平面 ,
所以 平面 . (4 分)
(2)解:因为底面 是正方形，且 平面 ，所以 ， ， 两两垂直.
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
(5 分)
则 ,
.
设平面 的一个法向量为 , 则 , ,即取 ,得 .
(7 分)
设平面 的一个法向量为 ,
则 , ,即取 ,得 . (9 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
故平面平面 与平面 夹角的正弦值为 . (11 分)
(3)解:设球 的半径为 ，三棱锥 的体积为 ，
,由余弦定理可得 ,
所以 .
(15 分)
由等体积法可得, .
(17 分)
19. (本小题满分 17 分)
(1)(i)解:由题得， ，
则 , (1 分)
,所以 ,
(3 分)
所以 在 上单调递增. (4 分)
(ii) 解: 存在 , (5 分)
令 ,
(7 分)
由 (i) 可得 ,所以 ,
令 ,
所以 在 上单调递增, (9 分)
,所以 ,所以 在 上单调递增,
存在 ,使得 成立,即 ,
综上: . (11 分)
(2)证明:当 时，令 ，
(12分)
令 ,
令 .
令 , (14分)
在 上单调递减, ,
所以 ,使得 .
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
所以 ,使得 .
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
,
所以 ,使得 .
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
(16分)
,即对任意的 . (17分)

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