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高一数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3. 本卷命题范围:湘教版必修第一册第 6 章统计学初步，必修第二册第 1 章平面向量及其应用、第 2 章三角恒等变换。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是
A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况
B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力
C. 了解甘肃省中学生收看 9 月 3 日阅兵直播情况
D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查
2. 已知 ,则
A. B. C. D.
3. 已知 的平均数为 3 则 的平均数为
A. 5 B. 7 C. 17 D. 25
4. 已知 两地相距 两地相距 ,若测得 ,则 两地间的距离为
A.
B. C. D.
5. 已知两个单位向量 和 夹角为 ,则向量 在向量 方向上的投影为
A. -1 B. 1
C. D.
6. 在 中,点 满足 . 若 ,则
A. B. C. D.
7. 在 中,内角 所对的边分别为 . 已知 的面积为 ,则 的最小值为
A. 3 B. C. 6 D.
ZH260413A
8. 已知 为 的外接圆圆心, ,则 的最大值为
A. 2 B. 4 C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分,在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要 求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 现有一组样本数据4,2,6,11,6,7,10,4,6,11,则这组数据的
A. 众数为 6 B. 平均数为 7.6
C. 中位数为 6.5 D. 第 72 百分位数为 10
10. 下列各式的值为 的是
A. B.
C. D.
11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子 (如图 1)，打开后形成以 为圆心的两个扇形 (如图 2),若 ，点 在 上， ,点 在 上, ,则
图 1
图 2
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 当 时, D. 当 时,
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设向量 与 的夹角为 ，则 _____.
13. 已知某社区共有居民 480 人，其中老年人 200 人，中年人 200 人，青少年 80 人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取 36 人作为代表，则中年人比青少年多_____人.
14. 已知四边形 中, ,设 与 面积分别为 . 则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (13 分)
已知向量 .
(1)若 与 共线，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值.
16. (15 分)
已知 ，且 ，
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值.
17. (15 分)
已知锐角 的内角 所对的边分别为 ,满足 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的周长.
18. (17分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本, 将样本的成绩 (满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六段: ,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)求样本成绩的第 75 百分位数和平均数；
(3)已知落在 的平均成绩是 56，方差是 7，落在 的平均成绩为 65，方差是 4，求两组成绩的总平均数 和总方差 .
19. (17 分)
如图，设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量. 若向量 ,则把有序实数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标,记作 . 在此坐标系 Oxy 中,若 是 的中点, 与 交于 点.
(1)求 ；
(2)求 的坐标；
(3)若过点 的直线 分别与 轴、 轴正方向交于 ， 两点，求 面积的最小值.
2025-2026-1 第一次月考试卷 高一数学 参考答案
1.D 切开白兰瓜具有破坏性，故 A 不符合题意；测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故 B 不符合题意；甘肃省中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故 C 不符合题意；航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故 D 符合题意.
2. A 由 ，得 . 故选 A.
3. ,所以 的平均数为 . 故选 C.
4. D 由余弦定理得, ,即 ,则 . 故选 D.
5.D 由题意可知: ,据此可得向量 在向量 方向上的投影为 . 故选 D.
6.B 如图:
因为 ,所以 ,所以 ,所以 . 故选 B.
7. C 由 ,根据正弦定理得, ,则 ,在 中, ,则 ,即 ,又 ,则 ,又 ,则 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,则 的最小值为 6 . 故选 C.
8.B 如图所示. 因为 为 的外接圆圆心, ,所以 ,且 ,所以 . ,故当 共线反向时, 取到最大值 4 . 故选 B.
9. AD 将数据按从小到大的顺序排列为2,4,4,6,6,6,7,10,11,11，出现次数最多的数为 6， 故 正确；平均数为 ,故 错误; 中位数为 ,故 错误； 第 72 百分位数为从小到大排列的第 8 个数，即为 10，故 D 正确. 故选 AD.
10. ABC 对于 ; 对于 ; 对于 ; 对于 D, . 故选 ABC.
11. AD 对于 ，因为 . 所以 ,所以 ,即 , A 正确; B 错误; 对于 ,如图,当 时,可判断 为 中点, ,则 ,作 ,则四边形 为平行四边形,则 ,所以 ,所以 . 所以 , C 错误, D 正确. 故选 AD.
12. .
13.9 设中年人抽取 人,青少年抽取 人,由分层随机抽样可知 ,解得 ,故中年人比青少年多 9 人.
14. 四边形 中, ,设 与 面积分别为 ,则 . . 在 中,利用余弦定理: ，即 ，在 中，利用余弦定理: ，即 ，所以 . 则 当 ,即 时， 最大值，最大值为 .
15. 解: (1) , 2 分因为 与 共线与 共线,
所以 , 4 分
所以 . 6 分
(2)由题知: , 8 分 10 分
,
,
,即 ,解得 . 13 分
16. 解: (1) 联立 且 ,解得 2 分
所以 , 4 分
则 . 7 分
(2)由题意 , , 9 分
分式上下同时除以 得 , 11 分
由 (1) 得 , 12 分
将 代入 得 ,
即 . 15 分
17. 解: (1) 因为 ,
所以由余弦定理可得 . 2 分
因为 是锐角三角形,所以 ,
所以 ,即 , 5 分
所以 . 7 分
(2)因为 ，所以 ，
所以 . 9 分
因为 ,
由余弦定理可得 ,
所以 , 11 分
所以 ,
所以 , 14 分
所以 的周长为 . 15 分
18. 解:(1)由每组小矩形的面积之和为 1 得,0.05 + 0.1 + 0.2 + 10a + 0.25 + 0.1 = 1，
所以 . 4 分
(2)成绩落在 内的频率为 ,
落在 内的频率为 ,
显然第 75 百分位数 , 6 分
由 ,
解得 ，所以第 75 百分位数为 84 . 8 分
平均数约为 . 11 分
(3)由图可知，成绩在 的市民人数为 ，
成绩在 的市民人数为 , 12 分
故 , 14 分
所以两组市民成绩的总平均数是 62 , 总方差是 23 . 17 分
19. 解: (1) 依题意可得 ,
, 2 分
,
. 4 分
(2) ，
,
,
所以四边形 是平行四边形,即 , 6 分
,
是 的中点, , 8 分
,
又 ,
. 10 分
(3)设 ，
则 , 11 分
因为 三点共线,则设 ,
,
,
,
, 13 分
,当且仅当 时取等号, 16 分
所以 的最小值为 . 17 分
或者: 由 得 , 13 分
所以 ,所以 ,当且仅当 时取等号, 15 分
，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 . 17 分

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