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辽宁省名校联盟 2026 年高考模拟卷(信息卷) 数学(一)
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则在复平面内 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 如图，向量 ， ， 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则 用 ， 可表示为
B.
D.
A.
C.
4. 碗的起源可追溯到新石器时代泥质陶制的碗, 其形状与当今无多大区别. 如图, 该碗碗口直径为 12 cm，碗底直径为 4 cm，它的形状可以近似看作是上部分为圆台，下部分底座为圆柱的组合体(碗的厚度忽略不计),若圆台部分与圆柱部分的体积之比为 26 :1,则圆台部分与圆柱部分的高之比为
C.
A.
B.
D.
5. 在数列 中, ,则
A. 12 B. C. D.
6. 已知实数 满足 ,则 的最小值为
A. B. C. 3 D. 4
7. 对于函数 ，若在其定义域内存在 ，满足 ，则称 为“ 倍局部倒函数”. 若函数 是定义在区间 内的“ 4 倍局部倒函数”,则 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 在三棱锥 中,平面 平面 ,则三棱锥 外接球的表面积为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 某人形机器人公司近 5 年的年利润情况如下表所示，若 与 线性相关，且经验回归方程是 4. ,则
年份代码 1 2 3 4 5
年利润 /千万元 9 21 26
A.
B. 该公司的年利润与年份代码呈正相关
C. 样本点 (4,21) 的残差 (实际值与预测值之差) 为-3 百万元
D. 利用该经验回归方程可估计第 8 年该公司的年利润为 3.85 亿元
10. 已知函数 的部分图象如图所示,该图象与 轴交于点 ,与 轴交于 两点,点 在 的图象上且 为等边三角形,则下列说法正确的是
A.
B.
C. 若关于 的方程 在区间 上有两个不等的实根,则 的取值范围为
D. 设 ，若 在区间 . 内单调递增，则 的取值范围为
11. 已知函数 的导函数为 ,且对任意 ,均有 , 且 ,则
A. 为奇函数 B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 _____.
13. 已知双曲线 ，右焦点为 ，若 上存在点 ，使得 轴上的某点 满足 (O为坐标原点)，则 的离心率的取值范围为_____.
14. 将数字1,2,3,4,5,6,7,8全部填入下面的表格中，每个方格填写 1 个数字. 若要求恰有 2 列数字之和均为 9，且这 2 列不相邻，则不同的填法共有_____种.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
某文化公司为研究“微短剧”喜好与观众性别是否有关联进行了一次调查，并将收集的数据整理后填入如下列联表.
性别 “微短剧”喜好 合计
喜欢 不喜欢
女 30 15 45
男 20 35 55
合计 50 50 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为 “微短剧” 喜好与观众性别有关？
(2)现从喜欢“微短剧”的观众样本中用分层(按性别分层)随机抽样的方法抽取 5 人进行观察，再 —— 从这 5 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中女观众的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附: ，其中 .
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
16.(15分)
在 中,内角 的对边分别为 ,已知 ,且 .
(1)证明: 是直角三角形；
(2)若 ，求 的内切圆 周长的最大值.
17. (15 分)
如图①,在梯形 中, 是 边的中点, ,且 为等边三角形,现将 沿 翻折，使平面 平面 ,连接 ，得到如图②所示的四棱锥 为 的中点，点 在棱 上，且 .
(1)证明:当 时， 平面 ；
(2)当 时，求直线 和平面 所成角的正弦值.
立
① ②
18.(17分)
已知抛物线 的顶点为 ,焦点为 ,过点 的直线 与 相交于不同的 两点,当 轴时, 的周长为 .
(1)求 的方程；
(2)设 ，求证:直线 平分 ；
(3)直线 与 相交于 ， 两点， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，且点 ， 不重合, . 若点 在第一象限,则 是否为定值 若是定值,求出该定值; 若不是定值, 试说明理由.
19. (17分)
已知函数 .
(1)若 在区间 内的最大值为 0，求 的取值范围；
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围；
(3)证明: .
数学(一)
一、选择题
1. B 由已知得 , 故 . 故选 B 项.
2. C 因为 ,所以 ,则在复平面内 对应的点为 ,位于第三象限. 故选 C 项.
3. 如图, . 故选 D 项.
4. 设圆台、圆柱的高分别是 , 则圆台的体积 ,圆柱的体积 ,所以圆台、圆柱的体积之比为 ,解得 . 故选 C 项.
5. 因为 ,所以 ,则数列 为常数列,又 ,所以 , 即 ,所以 . 故选 D 项.
6. 由 ,得点 的轨迹为如图所示的半个椭圆,记为曲线 .
的几何意义为 上的点 到点 的距离与到右焦点 的距离之和,即为 ,设 的左焦点为 ,由椭圆的定义得 ,又 ,所以 ,当点 为线段 的延长线与 的交点时取等号,故 的最小值为 . 故选 B 项.
7. 因为 是定义在区间 内的 “ 4 倍局部倒函数”,所以 ,即 在区间 内有解,整理得 ,令 ,由 ,得 ,当且仅当 ,即 时取等号,所以问题转化为关于 的方程 在区间 内有解. 设函数 ,其图象开口向上,对称轴为直线 . ① 当 ,即 2 时,只需 ,即 ,解得 , 所以 ; ②当 时，只需 ,整理得 ,显然成立. 综上, 的取值范围为 , . 故选 D 项.
8. A 如图,取 的中点 ,连接 ,
在 中, ,因为平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ,所以 平面 . 设 ,则 ,在 中, ， . 因为 ,所以 20,解得 ,则 ,所以 ,因为 ,所以 . 取 的中点 ,则 为 外接圆的圆心,过点 作直线 平面 ,设 外接圆的圆心为 ,过 作直线 平面 ,记 ,则 为三棱锥 外接球的球心,连接 ,在 中,由正弦定理得 4,解得 ,则 ,则三棱锥 外接球的半径为 ，所以三棱锥 外接球的表面积为 . 故选 A 项.
二、选择题
9. BCD 对于 项,由题意得 ,因为 关于 的经验回归方程为 ,所以 4. ,则 ,解得 项错误; 对于 项,因为经验回归直线 的斜率为正数 4.3,所以年利润与年份代码呈正相关，B 项正确；对于 C 项，当 时， ，则残差为 千万元 百万元, 项正确; 对于 项,当 时, 千万元 亿元,所以估计第 8 年该公司的年利润为 3.85 亿元， D 项正确. 故选 BCD 项.
10. ACD 对于 项，由题意得 的高为 ,则 2,所以 ,解得 ,因为 的图象与 轴交于点 ,所以 ,即 ,又 ,所以 ,观察图象可知, 的图象为函数 的图象向右平移 个单位长度得到的,所以 ,所以 ,所以 ,故 项正确, 项错误; 对于 项,由 , 得 ,当 时, ,因为关于 的方程 在区间 上有两个不等的实根,所以 ; 故 C 项正确; 对于 项, , ,当 时, ,又 在区间 内单调递增,所以 ,即 ,又 ,且 ,所以 ,所以 ,故 D 项正确. 故选 ACD 项.
11. 在 中,将 代换成 ,得 ,对于 A 项,在 式中,令 ,则 ,又 ,所以 ,得 ,对于任意的 R 都成立,所以 为奇函数,故 项正确. 对于 项,由 为奇函数,得 0,(*) 式两边同时对 求导,得 ,令 ,得 ,即 ,令 ,得 ,由 A 项知 为奇函数, 则 为偶函数,所以 0,故 B 项错误. 对于 项,在 中,令 ,得 ,所以 0 , 故 C 项正确. 对于 D 项, 在 (*) 式中, 令 ,得 ,所以 ,又 ,所以 ,则 ,所以 是以 4 为一个周期的周期函数,所以 ,所以 ,则 ,即 ,故 D 项错误. 故选 AC 项.
三、填空题
12.1023 设 的公比为 ,则 ,由 ,得 ,所以
13. 由 , 得线段 的中点在直线 上，由 . ,得 ,所以点 关于直线 对称,所以直线 的方程为 ,问题转化为直线 与 有公共点,所以 的一条渐近线方程 的斜率 满足 ，即 ，所以 ,所以 ,即 .
14.2304 易得 ,则数字之和为 9 的有 4 种情况,又不相邻的 2 列有第 1,3 列,第 1,4 列,第 2, 4 列, 3 种情况, 先选不相邻的 2 列有 3 种选法,再在列中数字之和为 9 的 4 种情况中选择 2 种并填入这 2 列,有 种填法，最后在剩下 2 列中填入剩下 4 个数字， 总情况有 种，其中满足列中数字之和为 9 的有 种,则剩下的 2 列符合要求的填法有 种. 综上，所求填法有 种.
四、解答题
15. 解:(1)零假设为 ；“微短剧”喜好与观众性别无关,
由表 中 的 数 据 计 算 得 (4 分)
高考模拟信息卷
依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立，即认为 “微短剧” 喜好与观众性别有关, 该推断犯错误的概率不超过 0.01 . (6 分)
(2)抽取的 5 人中，女观众有 人， 男观众有 人， (7 分)
故 的可能取值为1,2,3, (8 分)
(11 分)
所以 的分布列为
1 2 3
(12 分)
(13 分)
16.(1)证明:由 ，
得 ,
由正弦定理得 (2 分)
即 ,
所以 (4 分)
在 中, ,
所以 , (5 分)
即 ,
所以 , (6 分)
又 ,所以 ,
所以 ,则 ,
所以 是直角三角形. (8 分)
(2)解:由(1)得 ，
又 ，所以 ， (9 分)
所以 ,
则 ,当且仅当 时取等号. (11 分)
设圆 的半径为 ,则 (14 分)
即 的最大值为 ,
所以圆 周长的最大值为 .
(15 分)
17. ( 1 )证明:当 时， 为 的中点，
取 的中点 ,连接 ,
则 且 , (1 分)
在四边形 中, , 所以四边形 是平行四边形,(3 分) 又 是 的中点,
所以 且 ,
所以 且 , (4 分)
所以四边形 是平行四边形,
所以 , (5 分)
又 平面 平面 , 所以 平面 . (6 分)
数学 辽宁名校联盟
(2)解:因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,
所以 ,
连接 ,由题意可得 为等边三角形,所以 . (8 分)
以 为坐标原点,以直线 分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设 ,则 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 , (10 分)
设平面 的法向量为 , 则 令 1,则 . (12 分)
设直线 与平面 所成角为 ,
则
故直线 与平面 所成角的正弦值为 . (15 分)
18.(1)解:当 轴时， ,所以 (2 分)
所以 的周长为 ， 解得 ， (3 分)
所以 的方程为 . (4 分)
(2)证明:设直线 的方程为 ， ,
联立 得 ,
则 , (6 分)
所以 ,
所以
,
所以直线 平分 . (9 分)
(3)解:由(2)可得
令 ,则 且 ,可得 ,即 ,
高考模拟信息卷
将 代入 ，得 ，则 ( 4 ， 4), .
由抛物线对称性,不妨令点 在 轴上方, 如图所示:
由 且 在 上,可设 且 ,
则 ,
所以 ,
则 , (11 分)
所以直线 的方程为 ,直线 的方程为
由两直线方程消去 得 ,又 且 , 可得 ,即 ,
则 , (14 分)
所以 , (15 分)
所以 , , 故 为定值 20 . (17 分)
19.(1)解: ，
注意到 ,且 在区间 内的最大值为 0 ,
所以 ,解得 . (3 分) 当 时,
所以 在区间 内单调递减,
则 ,满足题意.
综上, 的取值范围为 . (5分)
(2)解:因为
所以
, (8 分)
因为 在 上单调递减,
所以 ,
即 对 恒成立,
即 对 恒成立,
又 ,且 时等号成立，所以 ，
故 的取值范围为 . (10 分)
(3)证明:由(2)知 ,
所以 ,
即 , (12 分)
以 替
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换上式中的 ,可得 -3,
4cos ,
......
累加得
, (15 分) 又 , ,
所以
即 . (17 分)

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