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高三数学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. B. C. 8 D. 12
3. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
4. 已知角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ,则
A. -3 B. C. D. 3
5. 已知抛物线 上的点 到抛物线焦点 的距离为 5,则
A. 4 B. 3 C. 2 D.
6. 已知向量 ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则实数
A. -1 B. C. D. -2
7. 已知点 是直线 上一点,过点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知函数 与 的图象关于直线 对称,函数 ,若方程 在区间 上有解,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 的定义域为 、 和 均为偶函数,且当 时, . 则
A. B. 函数 的图象关于点 中心对称
C. 函数 是周期为 2 的周期函数 D. 函数 在 上单调递增
10. 在三角形 中,内角 所对的边分别为 ,已知 ,则
A.
B. 若 ,则
C. 若三角形 为锐角三角形,则 的取值范围是
D. 若 ,则三角形 为直角三角形
11. 如图,在矩形 中, 为 的中点,将 沿 向上 面折到 ,连接 ,在 所讨程中, 下列说法正确的是
A. 若平面 PAE 上平面 ABCD,则 PA_DE
B. 四棱锥 的体积最大值为
C. 点 从点 翻折到 中点的过程中, 的中点 形成的轨迹长度为
D. 三棱锥 的外接球表面积的最小值为
三、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分)
12. 已知双曲线 的右焦点为 ，过 作双曲线 的渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为_____.
13. 已知样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，设 ，当函数 取最小值时, _____.
14. 某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在 2 小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下:参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为 ， 派出技能题的概率为 . 若某选手答对素养题的概率为 ，答对技能题的概率为 ，且各轮答题正确与否相互独立. 记该选手在第 轮答题结束时挑战依然未终止的概率为 ,记 ,则 _____.
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,数列 的前 项和为 ,满足 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)已知数列 满足: ，求数列 的前 项和 .
16.(本小题满分 15 分)
每年春季万象更新, 也是病毒变异和流行的高发期, 现代流行病学调查表明: 某种流行病毒变异所形成的疾病 是由致病菌。和致病菌 共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.
(1)现有一种对疾病 的试剂检验方法，该检验方法对患疾病 的人进行化验，检测结果有 96%呈阳性，对未患疾病 的人进行化验，检测结果有 呈阴性. 检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率. 若某地区疾病 的患病率为 ，求这种检验方法在该地区的误诊率(结果精确到 0.001)；
(2)对疾病 有效治疗的药物有 ， 两款，且这两种药物的疗程均为 3 天(药物使用时，按疗程服用 3 天)，超过 3 天无效时需换药进行治疗(无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率). 若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过 3 天也能痊愈。已知药物 杀灭致病菌 和致病菌 的概率分别为 ，药物B 杀灭致病菌。和致病菌 的概率均为 . 且对于同一种药物,杀灭两种致病菌的事件相互独立. 请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形， ， 是 的中点， 与 相交于点 ，点 在侧棱 上， .
(1)证明: 平面 ；
( 2 )当 时，求点 到平面 的距离；
(3)若 ，当直线 与平面 的所成角最大时，求实数 的值.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的左、右顶点分别为 ，直线 交椭圆 于 ， 两点(与 不重合). 设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,且 .
(1)求证: ；
(II)设弦 的中点为 ， 为坐标原点，直线 与椭圆交于 ， 两点，求四边形 MPNQ 面积 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求实数 的值；
(2)若函数 有三个零点 ，且 .
(1)求实数 的取值范围；
( II ) 求证: .
高三数学参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C B A D D C ACD ABD AD
1. B 因为 ,所以 . 故选 B.
2. A 由 ,得 . 故选 A.
3. C 因为函数 在 上为增函数, 在 上为减函数,在 上为增函数,又函数 在 上单调递增,所以 . 故选 C.
4. B 由三角函数的定义可得 ,所以 . 故选 B.
5. A 抛物线的准线方程为直线 ，由题知 ，得 . 故选 A.
6. ,由题意知 , 所以 ,所以 ,解得 . 故选 D.
7. D 圆 的圆心 的坐标为 ,半径为 1,
因为 为圆 的切线,切点分别为 ,所以 ,
所以 ,
当 时, 取最小值, ,此时 取最大值 ,
又 ，函数 在 上单调递增，即 取最大值，此时 取最大值，
又 ，所以 . 故选 D.
8. C 因为函数 与 的图象关于直线 对称,所以 ,
所以 . 设 ,则 ,那么 都在函数 的图象上,假设 , 因为函数 单调递增,所以 ,即 ,与假设矛盾; 假设 ,因为函数 单调递增,所以 ,即 ,与假设矛盾,所以 ,则 在 上有解,即 在 上有解. 令 ,得 ,由 ,解得 ,因此 在 上单调递增,在 上单调递减, , ,所以 ,即 . 故选 C.
9. ACD 对于 : 因为 为偶函数,当 时, .
所以 ,故 正确;
对于 : 因为函数 为偶函数,所以 ,所以函数 的图象关于直线 对称,故 错误;
对于 C: 因为 和 均为偶函数,所以 ,
在 中,将 替换为 ,得 ,故 ,所以 的一个周期为 2, 故 C 正确;
对于 D: 当 时, ,故 ,
故当 时, ,所以函数 在 上单调递增,故 正确.
故选 ACD.
10. ABD 对于 A: 因为 ,所以 或 ,又 ,所以 ,若 ,又 ,则 ,与 矛盾,所以 ,故 A 正确;
对于 B: 因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,将 代入得 ,解得 或 (舍),故 B 正确; 对于 : 由选项 可知 ,所以 ,
又 ,因为 为锐角三角形,
所以 ,即 ,
解得 ,因为 在 上单调递减,所以 ,故 C 错误;
对于 D: 因为 ,又 ,所以 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,又 ,
所以 ,
即 ,又 ,所以 为锐角,可得 (负值舍),
所以 ,所以 ,所以 ,故 正确. 故选 ABD.
图1
11. AD 对于 A: 因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 平面 ,所以 ,故 正确;
对于 B: 由已知梯形 的面积为 ,直角 斜边 上的高为 ，当平面 平面 时，四棱锥 的体积取最大值 ,故 错误;
对于 : 如图 1,取 的中点为 ,则 , 平行且相等,四边形 是平行四边形,所以点 的轨迹与点 的轨迹形状完全相同,过点 作 的垂线,垂足为 ,点 的轨迹是以 为圆心,半径为 的半圆弧,从而 的中点 的轨迹长度为 . 故 错误; 对于 D: 如图 2, 的外接圆 的半径为 是 的中点, 外接圆 的半径为 是圆 与圆 的公共弦, . 设三棱锥 外接球球心为 ,半径为 ,
图2
则 .
因为 ,所以 ,所以 的最小值为 2,所以三棱锥 的外接球表面积的最小值为 ,故 正确. 故选 AD.
三、填空题
12. 由题意设 ,不妨设双曲线的渐近线为 ,即 ,则点 到渐近线 的距离 ,又 ,所以 ,所以双曲线的离心率为 .
13.1 因为 是一个图象开口向上的关于 的二次函数, 故函数在其图象的对称轴处取得最小值,即 , 所以 .
14. 设事件 “一轮答题中系统派出素养题”，事件 “该选手在一轮答题中答对”， 依题意， ， ， ， ，
因此 ,
所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为 .
设事件 “该选手在第 轮答对”,由于各轮答题正确与否相互独立,所以 ,
设事件 “第 轮答题结束时挑战未终止”,当 时,第 轮答题结束时挑战未终止的情况有两种:
① 第 轮答对，且第 轮结束时挑战未终止；
② 第 轮答错，且第 轮答对，且第 轮结束时挑战未终止，
因此第 轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为 ,
则 ,而各轮答题正确与否相互独立,
因此 ,
即当 时, ,当 时, ,
，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ,所以 .
四、解答题
15.(1) 法一:因为数列 是等差数列，设公差为 ，
因为 ,所以 2 分
即 解得 3 分
所以 ,
数列 的通项公式为 . 4 分
法二: 因为 ,所以 解得 2 分
所以 , 3 分
所以 .
数列 的通项公式为 . 4 分
由 ,当 时, ,得 , 5 分
当 时, ,所以 ,
所以 ,即 , 7 分
又 ,所以 ,
所以数列 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以 . 8 分
(2)由(1)知， ， ，
所以 , 10 分
所以 12 分
. 13 分
16.(1)记事件 检测结果呈阳性,事件 : 患疾病 ,
由题意可知, , 2 分
所以 , 4 分
因此,这种检验方法在该地区的误诊率为 . 6 分
(2)设 表示药物 能治愈疾病 的概率， 表示药物 能治愈疾病 的概率.
则有 , 7 分
8 分
设先用药物 再用药物 来治愈疾病 所需的天数为 的可能取值为3,6,9,
则 ,
9 分
所以
. 11 分
设先用药物 再用药物 来治愈疾病 所需的天数为 的可能取值为3,6,9,
同理得 ,
12 分
则有
. 14 分
从而有 ,因此需先使用药物 可使得痊愈的平均天数更短. 15 分
17.(1)因为 底面 平面 ,所以 , 1 分
在 和 中, ,则 , 2 分
故 ,则得 ,即 , 3 分
又 平面 ,故 平面 . 4 分
(2)由已知得， ， ，
故以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 5 分
则 ,
当 时, ,则 , 6 分
设平面 的法向量为 ,
则 故可取 , 7 分
所以点 到平面 的距离 . 9 分
(3)由已知得 ,
所以 ,又 ,所以 , 10 分
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 故可取 , 12 分
又 ,取直线 的方向向量为 , 13 分
设直线 与平面 的所成角为 ,
则 , 14 分
因为 ,所以 ,当 时, 取最大值 ,
又 ,此时 取最大值,所以 . 15 分
18.(1)设椭圆 的半焦距为 ,因为椭圆 的离心率为 ,即 ,
得 . 1 分
又 ,所以 ,所以 , 2 分
故椭圆 的方程为 . 3 分
(2)(1)连接 ，设 ， ，而 ， ，
因为 ，所以 ，
则 , 5 分
因为 ,所以 ,所以 ,所以 . 6 分
(ii) 由 (i) 可设直线 的方程为 , 7 分
联立 得 ,
且 , 8 分
因为 ,
所以 ,
化简可得 ,
所以 ,
又 ,所以 ,得 , 9 分
所以 ,
所以直线 的方程为 ,
所以 , 10 分
当 时, 与 轴重合,即 ; 此时 . ① 11 分
当 时,因为 ,
所以 ,设直线 的方程为 ,即 ,
联立 得 ,故 , 12 分
则 到 的距离为 ,
到 的距离为 , 13 分
且 与 异号,又 , 14 分
所以
, 15 分
所以 , 16 分
所以 且 ,②
综合①②知， 的取值范围为 . 17 分
19.(1) 由 ,得 , 1 分
所以 , 2 分
因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直,
所以 ,得 ,
所以 的值为 -1 . 3 分
(2) 等价于 ，
令 ,又 ,可知 除了 1 之外还有两个零点, 4 分
又由 , 5 分
令 ,
当 时, 恒成立,故 在 上单调递减,不合题意; 6 分
当 时,由题意 在 上有两个零点,故 ,解得 . 7 分
设 的两个零点为 ,且 ,有 ,
故可知 均大于 0, 8 分
由此可得 在 单调递增, 单调递减, 单调递增, 9 分
而 ,即 ,
又因为 ,
故 在 内恰有一个零点,在 内恰有一个零点, 11 分所以 恰有 3 个零点,亦即 恰有 3 个零点,
故实数 的取值范围是 . 12 分
( II ) ,由 ,可得 , 则有 , 13 分
要证明 ,代入 得,只需证明 ,而 ,
因此只需要证明当 时, . 14 分
令 ,
可得 ,故 在 上单调递增, 15 分
因此当 时, ,即当 时, ,得证,
故 . 17 分

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