资源简介

余姚中学 2025 学年第二学期 4 月质量检测高一数学学科试卷
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，且 ，则 等于
A. B. C. D.
3. 已知 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
4. 在 中， 分别是内角 所对的边,若 ,则边
A. B. C. D.
5. 如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ,且 , 则该平面图形的面积为
A. 12 B. C. 6 D.
第 5 题图
为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型. 若 平面 ， 平面 ,则塔尖 之间的距离为
第 6 题图
A. B. C. 150m D.
7. 在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖膈. 已知四面体 是鳖臑, , 平面 ,当该鳖臑的外接球表面积为 时,它的内切球半径为
A. B. C. D.
8. 如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 翻折. 在翻折过程中，当二面角 的平面角最大时,其正切值为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 满足 ,则下列命题是真命题的是
A. 的虚部为 -2
B.
C. 在复平面内对应的点位于第一象限
D. 若 与复数 相等,则
10. 已知 的内角 所对边分别为 ,下列说法中正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则 是锐角三角形
C. 若 ,则 是等腰三角形
D. 若 ,则 是等腰直角三角形
11. 如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列结论正确的是
A. 直线 平面
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 异面直线 与 所成角的取值范围是
D. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 1748 年,数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,得到公式 ,这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为 “数学中的天桥”. 根据此公式，可以得到 “最美的数学公式”: _____▲_____.
13. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ，下底面半径均为 ，圆台的母线长分别为 ， ， ， 与乙的体积之比为_____▲_____.
14. 如图,直三棱柱 ，侧棱长为 ，点 是侧面 内一点. 当 最大时，过 、 、 三点的截面面积的最小值为_____▲_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知复数 ( ， 是虚数单位).
(1)若 是纯虚数，求 ；
(2)若 是实系数一元二次方程 的根，求实数 和 的值.
16.(15 分)
如图,已知 ,设向量 是与向量 垂直的单位向量.
(1)求单位向量 的坐标；
(2)求向量 在单位向量 上的投影向量的模；
(3)求 的面积.
17.(15分)
已知 的内角 所对的边分别为 ,且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形,且 ,求 周长的取值范围.
18.(17分)(本题用向量法(坐标法)一律不给分)
如图，正方体 的棱长为 1， ， 分别为 ， 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
(3)求直线 与平面 所成角的正切值.
19.(17 分) (本题用向量法(坐标法) 一律不给分)
如图，已知三棱台 的体积为 ，平面 平面 ， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形,且 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求点 到面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由.
余姚中学 2025 学年第二学期 4 月质量检测 高一数学参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B A B D C B
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9 10 11
AC ACD ABD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 0
13. 14. 3
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)因为 ,所以 , -2 分因为 是纯虚数,所以 ,解得 , -4 分所以 ,故 . -6 分
(2) 依题意, ,即 , -8 分则 且 , -10 分解得 或 或 . -13 分
16.(15分)
(1)设 ,依题意有 , -1 分由 ，且 ，即 ，得: -3 分解得 或 (舍去) 所以 . -5 分
(2)设向量 与单位向量 的夹角为 在单位向量 上的投影向量为 ，则
-7 分
又因为 ,所以 ,
所以向量 在单位向量 上的投影向量的模为 . -11 分
(3) . -15 分
17.(15分)
(1)由题意知 ,
由正弦定理可得, ,即 , -2 分 , -4 分
又 ,所以 . -6 分
( 2 )由正弦定理得 ，所以 -8 分
,
-10 分
又 为锐角三角形,则 ,解得: , -12 分所以 ,所以 ,
所以 ,故
即 周长的取值范围是 . -15 分
18.(17分)
(1)证明: 连接 交 于点 ,
, 分别为 的中点, . -2 分
平面 ,且 平面 ,
平面 . -4 分
(2) 且 ，
或其补角为 与 所成的角. -7 分
,
,即 EF 与 所成角的大小为 . -9 分
(3)连接 ,过 作 于点 .
平面 ,且 平面 ,
,又 且 、 平面 ,
平面 . -11 分
平面 ,
又 ,且 平面 ,
平面 , -13 分
直线 与平面 所成角的大小等于 . -15 分
平正方体的边长为 ,
. -17 分
19. (17分)
(1)连接 ，在三棱台 中， ，
四边形 为等腰梯形且 ,
设 ,则 ,
由余弦定理得: ,
,
∵平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 , -2 分
又 平面 , -3 分
是以 为直角顶点的等腰直角三角形,
, -4 分
平面 ,
平面 ； -5 分
(2)由棱台的性质知:延长 交于一点 ，
,
,
平面 ,即 平面 ,
即为三棱锥 中,点 到平面 的距离,
由(1)中所设: ，
为等边三角形, ,
,
,
,
设点 到平面 的距离为 ,即为点 到面 的距离,
，解得: ，
即点 到平面 的距离为 . -9 分
(3) 平面 平面 ， 平面 平面 ，
取 中点 ，连接 ， ，在正 中， ，
∵平面 平面 平面 平面 ,
又 PN C平面 PNC, 平面 PNC 平面 ABC,
作 FE 于 ,因为平面 平面 平面 ,
所以 ,
作 ,连接 ,
平面 ,
平面 平面 ,
平面 ,
为二面角 的平面角, -13 分设 ,在 中,作 ,
,又 平面 平面 ,
,解得: ,
由(2)知: ,
,
,
,
若存在 使得二面角 的大小为 ,
则 ，解得: ,
,
存在满足题意的点 ，且 . -17 分

展开更多......

收起↑