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2026 届高三考前适应性训练(一) 数学试题
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120 分钟, 满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A.{3} B. C. D.
2. 已知 (其中 为虚数单位) 是纯虚数,则实数 的值为
A. -2 B. -1 C. 2 D. 3
3. 已知函数 为奇函数,则
A. B. C. D.
4. 已知圆台的高为 ,侧面积为 ,下底面半径是上底面半径的 2 倍,则该圆台的体积为
A. B. C. D.
5.某党校派了 3 名讲师到 4 个单位去讲党课, 每个单位只能安排一位讲师授课, 而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位, 则不同的选派方法的种数为
A. 36 B. 42 C. 52 D. 58
6. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 分别为椭圆 的左、 右顶点,直线 过 与椭圆 交于 两点 (不同于点 ), 的周长为 , 直线 与 的斜率分别为 ,且 ,则椭圆 的离心率为
A. B. C. D.
7. 早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过 “勾 3 股 4 弦 5 ”的问题. “勾 股 弦 ” 指的是直角三角形的两条直角边长分别是 ，斜边长为 c.如图,已知在长方形 中, 满足 “勾 3 股 4 弦 5 ”, , 为 上一点, 且 ,则向量 可用向量 表示为
A. B.
C. D.
8. 已知 为圆 上的不同两点,过 两点分别作圆 的切线,且两切线的交点 在直线 上,则 的最小值为
A. B. 4 C. 6 D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A.
B. 若 ,则 “ ” 是 “ ” 的充要条件
C. 的最小值为 3 D. 若 ,则
10. 在 中,角 所对的边分别为 ,则下列结论正确的是
A. B. 若 ,则符合条件的三角形有两个
C.
D.
11. 已知函数 ,则下列结论正确的是
A. 函数 的极大值为
B. 函数 的极小值为
C. 直线 是函数 图象的一条切线
D. 若关于 的不等式 有唯一的整数解,则实数 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知函数 则 _____.
13. 在期中考试后, 某小学五年级统计了学生的数学成绩(满分: 100 分), 将所有学生的数学成绩按 [90,100]分为 6 组, 画出频率分布直方图如图所示，则该校五年级学生期中考试的数学成绩的中位数为_____. (保留到小数点后两位)
14. 已知函数 . 若 ,且 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分) 已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16.(15 分) 如图,在直三棱柱 中, 是线段 上的一个动点, 分别是线段 的中点.
(1)若平面 平面 ，求证: ；
(2)若 ，求二面角 的大小.
17. (15 分)已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 过点 且与双曲线 交于第一象限的点 .
(1)若直线 与双曲线 的左半支交于点 ， ， ，且 ， 求实数 的值；
(2)若点 的横坐标为 ，且满足 ，证明:直线 的斜率为定值.
18.(17 分) 已知函数 的定义域为 .
(1)求函数 的值域；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的最大值.
19.(17 分)当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径.
(1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为 ,求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率.
(2)若小刘决定连续两天去爬山，事件 “小刘第一天选择①路径爬山”， “小刘第二天选择②路径爬山”，且 . 若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择① 路径爬山的概率为 ; 若小刘第一天选择 ②路径爬山,则第二天选择 ①路径爬山的概率为 . 求 .
(3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为 “有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后, 从中随机抽取一人, 登山速度的提高为 “有效”的概率为 0.88 . 现从全体登山队员中抽取一人，若此人登山速度的提高为 “有效”,则抽取下一人,直到抽取的是登山速度的提高为 “无效” 的人结束.若抽取的次数为 ,且 ,求 的最大值.
(参考数据: )
2026 届高三考前适应性训练(一) 数学参考答案及评分意见
1.D . 解不等式 得 . 故选 D.
2.C 解得 . 故选 C.
3.A: 函数 为奇函数, ,即 ,解得 . . 故选 A.
4.C设圆台的母线长为 ,上底面的半径为 ,则下底面的半径为 圆台的侧面积为 ,解得 . 又 ,则该圆台的体积为 . 故选 C.
5.A由题意知,必有一位讲师去两个单位,另外两个单位各去一位讲师.第一步: 先将 4 个单位按 分成三组,共有 种方法; 第二步: 再把三名讲师分配到三个小组,有 种分配方法,故共有 种选派方法.故选 A.
6.B 的周长为 ,则 , . 设点 ,整理得 . 又 ,解得 , 椭圆 的离心率 . 故选 B.
7.D以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
. 设 , ,解得 . 设 ,则 ,
解得 . 故选 D.
8.B 圆 , 圆心 ,半径 . 是圆 的两条切线, , 由圆的知识可知 四点共圆,且 ,
.
又 当 的值最小,即 时, 取得最小值.
的最小值为 . 故选 B.
9.AC对于 不等式 的解集为 ,故 正确. 对于 ,当 时, 或 ,故 能推出 ,但 不能推出 , " " 是 " 的充分不必要条件,故 错误.
对于 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立, 的最小值为 3,故 正确.
对于 ,由 ,得 . 但 可正,可负, 推不出 ,故 错误. 故选 AC.
10.ACD对于 ,由余弦定理,得 ,故 A 正确. 对于 ,由正弦定理得, ,解得 ,故符合条件的三角形不存在,故 错误. 对于 ,由余弦定理得, ,即 , ,当且仅当 时,等号成立,故 正确. 对于 . , 即 ,故 正确. 故选 ACD.
11.ACD 的定义域为 .
对于 ,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减.
在定义域内只有极大值,没有极小值,极大值为 ,故 正确, 错误.
对于 ,设切点为 ,显然 ,
是方程 的一个根, 切点为 切线方程为 ,即 ,故 正确.
对于 在 上单调递增,在 上单调递减,且 在定义域内有极大值 , 又 ,即 由此作出函数 的大致图象,如图.
不等式 有唯一的整数解, ,即 ,故 正确. 故选 ACD.
12.3 .
13.71.67设该校五年级学生期中考试的数学成绩的中位数的估计值为 . 二第一组、第二组、第三组、第三组数据的频率之和为 ,第一组、第二组、第三组、第三组、第四组数据的频率之和为 . 由 ,解得 .
14.
由题意知 是函数 相邻最近的两个零点,且 ,故 .
所以 .
15. 解: (1) 由题意得, ,得 ,
即 . 2 分
又 是首项为 1,公比为 3 的等比数列.
. 6 分
(2) , 8 分
数列 的前 项和 . 13 分
16.(1)证明: 分别是线段 的中点， . 1 分
在三棱柱 中,四边形 为平行四边形,则 . 2 分又 平面 平面 ,
平面 . 4 分
平面 ,平面 平面 ,
. 6 分
(2)解: 平面 平面 .
又 两两相互垂直.
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 7 分
则 ,
. 8 分
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 ,得 . 10 分
易知平面 的一个法向量为 . 11 分
设二面角 的大小为 ,则 . 14 分由题图可知, 为钝角,则二面角 的大小为 . 15 分
17.(1)解: 点 在双曲线右支上， ，即 ，
由 ,得 . 2 分
又直线 与双曲线 的左半支交于点 . 4 分在 中,由余弦定理得 ,整理得 ,解得 或 (舍去). 7 分
实数 的值为 . 8 分
(2)证明:方法一:设直线 的斜率为 ，则直线 .
联立 整理得 . ① 11 分
点 的横坐标为 恰是方程①的解,
,整理得 ,即 .
又 . 14 分
直线 过点 且与双曲线 交于第一象限的点 ,
,即直线 的斜率为定值. 15 分
方法二: 点 的横坐标为 ,在第一象限,且在双曲线 上,
,解得 . 11 分
直线 过点 直线 的斜率为 . 13 分
直线 的斜率为 ,即直线 的斜率为定值. 15 分
18. 解:(1) 由 ，得 . 2 分
令 ,解得 ; 令 ,解得 .
在 上单调递减,在 上单调递增. 5 分
.
又当 趋近于 0 或 时, 趋近于 ,
函数 的值域为 . 7 分
(2)设 ，则由(1)知 ，且不等式 可转化为 .
设 ,则 . 由题意得 在 上恒成立. 10 分
若 ,则 在 上恒成立, 在 上单调递增,
则 ,符合题意.
若 ,则令 ,解得 ; 令 ,解得 .
在 上单调递减,在 上单调递增,
. 13 分
设 ,则 在 上恒成立,
在 上单调递减,且 ,则不等式 的解集为 ,即 , 16 分综上, ,即实数 的最大值为 . 17 分
19. 解: (1) 由题意得小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率为
3 分
(2)由题意得， . 6 分
. 8 分
(3)设从全体登山队员中随机抽取 1 人，抽取到的人是“无效”的概率为 ，则 .
抽取的次数为 的分布列为
1 2 3 ...
...
10 分
故 .
又 ,
两式相减得 . 13 分
. 15 分
,解得 ,
抽取次数的期望值不超过 的最大值为 2 . 17 分

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