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高一数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2. 在 中,若 ,则
A. 30° B. 45° C. 135° D. 150°
3. 已知在 中, 是线段 上的靠近 的三等分点,则
A. B. C. D.
4. 函数 的最大值是
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 平面向量 满足 ,记 在 上的投影向量 ,则 的值为
A. B. C. 1 D. 2
6. 在 中,角 的对边分别为 . 若 ,则
A. B. C. D. 或
7. 若 ,则三角形的形状为
A. 正三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 直角三角形
8. 在 中, ,若 为 的内心,设 ,则 的最大值为
A. 1 B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 使函数 为奇函数的 的值可以是
A. B. C. D.
10. (多选) 已知函数 ,则
A. 为偶函数 B. 存在 ,使得
C. 的最小正周期为 D. 的最大值为 3
11. 在 中,角 的对边分别为 ,记 边上的中线分别为 ,角 的平分线分别为 . 下列关于 的叙述正确的是
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. _____▲_____.
13. 设函数 . 若对任意实数 ,当 时, 的值域为 , 则正整数 的最小值为_____▲_____.
14. 已知两个平面向量 满足 ，且 (其中 表示不超过实数 的最大整数)，则 的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
(1)求 的值；
(2)已知 是第三象限角，求 的值.
16. (15分)
在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 边上的高.
17.(15分)
已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 是第二象限角， ，求 的值.
18.(17分)
中国古典园林中的套方棂格窗，凭借对称匀整的方格嵌套结构，既满足实用的采光需求， 又蕴含独特的美学价值, 堪称中式营造的经典符号. 某园林花窗的核心棂格结构, 可简化为如右图所示的几何模型: 四边形 与 TKLM 均为正方形,其中 分. 别是正方形 各边上的点,而 则是正方形 各边上的点。正方形 的边长为 ,设 .
(1)当 时，求正方形 的边长；
(2)求正方形 TKLM 面积 的最小值.
第 18 题(图)
19.(17 分)
(1)平面内一组不共线的向量 ，对任意点 ，有 . 求证: 当 三点共线的充要条件是 ;
(2)如图，在平行四边形 中， . 动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上. 若 ,求 的取值范围.
第 19 题(图)
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参考答案
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选 项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B C B A D C
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 BD AC BC
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
题号 12 13 14
答案 1 16
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题 13 分)
解:
(1)
, 2 分
由于 , 3 分
所以 , 4 分
化简得 . 6 分
(2)由于 ，则 ，
由同角三角函数关系知 . 8 分由于 为第三象限角,则 ,
有 . 10 分
则
. 13 分
16.(本小题 15 分)
解:
(1)在 中，由于 ,
由余弦定理可知: ,
,
所以 . 3 分
则
7 分
(2)由于 ,且 ,所以 . .9 分
且根据同角三角函数关系, . 11 分
设 边上的高为 ,
则 的面积 ,
所以 ,
解得 . 15 分
17. (本小题 15 分)
解:
(1)根据正弦曲线，知 ，
解得 , 3 分
所以 的单调递增区间为 . 5 分
(2) ,
代入方程得 . 6 分
其中 ,
即 . 8 分
当 时, ,
. 11 分
当 时, ,
即 ,
由于 是第二象限角, ,
则 . 14 分
综上所述: 或 . 15 分
注:运用其它方法得解参照上述评分细则给分。
18.(本小题 17 分)
解: 根据正方形的对称性以及图形的构造方式可知
. 3 分在 中, ,
并且 ,
所以有 ,
则 . 6 分
同理,在 中, ,
且 ,
所以
. .9 分
(1)当 时，
计算得 . 12 分
( 2 )由于 ,
14 分
所以 ,此时 , 16 分
故正方形 TKLM 面积 的最小值为 . 17 分
19. (本小题 17 分)
解:
(1)必要性:若 三点共线，
则存在实数 ,使得 , 1 分
即 ,
所以 , 3 分
即 ,
所以 . 4 分
充分性: 若 ,则 ,
所以 ,
整理得 , 5 分
所以 ,
即 与 共线,且共点 , 7 分
所以 三点共线. 8 分
(2)记 与直线 的交点为 ，则 ，且 ，
即 ,所以 ,
由(1)知， ，
所以 ,即 与 的比值. 11 分
据此可知，当点 与 重合时, 有最小值 1 ; 13 分
当点 在四边形 外部,且过 点的圆的切线 与 平行时, 有最大值,
过 作 的垂线分别交 与 于点 ,
此时 ,
由平行线分线段成比例定理知, . 16 分
所以 . 17 分
注: 本题方法多样, 运用其它方法得解参照上述评分细则给分。

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