资源简介

2026 届高三 4 月份质量监测 数 学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上指定位置, 在其他位置作答一律无效。
3. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，若 中含有 4 个元素，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知五个数 的极差为 4,方差为 2,则 的
A. 极差为 4 , 方差为 2 B. 极差为 4 , 方差为 4
C. 极差为 8 , 方差为 4 D. 极差为 8 , 方差为 8
3. 已知复数 满足 ,则
A. 1 B. C. 2 D. 4
4. 已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的体积为 ，侧面积是底面积的 3 倍，则其底面圆的半径为
A. B. 2 C. D.
6. 若直线 是曲线 的一条切线，则
A. -e B. C. e D.
7. 已知函数 是奇函数，则 的最大值为
A. 1 B. C. 2 D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 为右顶点, 是 上一点. 若 ,则 的离心率为
A. 2 B. C. D. 3
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知随机变量 ,则
A. B. 是增函数
C. D.
10. 数列 的前 项和记为 ,且 ,则
A. B. 为等差数列
C. D. 中有最大项也有最小项
11. 已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 是圆 的一条直径, 则
A. B. 的面积最大值为
C. 的最小值为 D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 的展开式中, 的系数为_____▲_____.
13. 已知 两点在函数 的图象上, 两点在函数 的图象上,且 平行于 轴, 和 平行于 轴. 若线段 的长度是线段 长度的 12 倍，则线段 长度为_____▲_____.
14. 记 的三个内角 所对的边分别为 ,已知 , ，则 的面积为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知数列 为正项等比数列,公比 ,前 项和为 .
(1)当 时，记集合 ，求 中元素之和；
(2)求 的最小值.
16. (15分)
已知函数 .
(1)当 时，求 的极值;
(2)讨论函数 的单调性.
17. (15 分)
如图，在直四棱柱 中，四边形 是梯形， ， ， 为矩形 两条对角线的交点，且 平面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ；
(3)平面 将该四棱柱分成上、下两部分， 求上、下两部分的体积之比.
18. (17分)
已知椭圆 的焦距为 ，过点 的直线 与 交于 两点， 为 的中点， 为坐标原点. 设 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为直角三角形，求 的值；
(3)直线 交 轴于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ， 探究: 是否为定值
19. (17 分)
一盒子中共有 5 个大小质地完全相同的小球, 其中 3 个红球, 2 个黑球. 从盒子中一次随机取出两个球,如果取出的球是黑球,则将它放回盒子中; 如果取出的球是红球,则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入袋中. 重复进行上述操作 次后，盒子中黑球的个数记为 .
(1)求恰好 2 次操作后，袋中小球的颜色全部相同的概率；
(2)求随机变量 的分布列;
(3) 证明: .
2026 届高三 4 月份质量监测 数学参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B D A C B A
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
题号 9 10 11
答案 ABC ABD ABD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 80 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
(1) 由 ,得 ,
所以 ,即 . 2 分
所以 ,则 .
由 ,得 , 4 分
因为 所以 ,
所以 中元素之和为 . 7 分
(2)由 ，得 ，
所以 .
所以 . 10 分
令 ,则 ,
所以
当且仅当 ,即 ,即 时取 “ ”.
所以 的最小值为 8 . 13 分
16. (15 分)
(1) 当 时, ,
所以 . 2 分
令 ,得 ,
且当 时, ; 当 时, , 4 分
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 的极小值为 ,无极大值. 6 分
(2) .
当 时, ,
因为 ,所以 在 上单调递减. 8 分
当 时, ,
由 ,
令 ,得 . 10 分
当 ,即 时, ,
所以 在 上单调递增. 12 分
当 ,即 时,
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 14 分
综上,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. 分
17. (15 分)
2 分
(1)如图，连结 .
因为 为矩形 两条对角线的交点, 所以 为 的中点.
取 的中点 ,连结 , 则 ,且 ,
因为 ,所以 .
因为 平面 平面 ,
平面 平面 ,
所以 . 4 分
所以四边形 是平行四边形,
所以 . 5 分
(2)以 为原点， 为正交基底建立如图空间直角坐标系.
则 ,
设 ,则 .
所以 .
设平面 的一个法向量 ,则
即 取 ,则 ,所以 . 8 分
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
解得 或 4,
(3)取 的中点 ， 的中点 ，连结 ， ， .
由(1)证明过程可知,平面 截四棱柱的截面为四边 ,
截得下面部分为三棱柱 和四棱锥 .
设 ,则 .
所以三棱柱 的体积 ，
四棱锥 的体积 ，
所以下面部分的体积为 。 13 分
而四棱柱 的体积 ,
所以上面部分的体积为 ,
所以上、下两部分的体积之比为 . 15 分
4
18. (17 分)
(1) 设 ,则
两式相减,得 ,
即 . 2 分
因为 为 的中点，所以 ，
所以直线 的斜率为 ,
所以 ,
所以 ，即 . 4 分
因为椭圆 的焦距为 ，焦距为 ，
解得 ,
所以椭圆 的方程为 . 6 分
(2)设直线 的方程为 .
代入方程 ,消 得 ,
则 .
又 ,
令 ,得 . 8 分
若 为直角时,有 ,即 ,
所以 ,
即 ,解得 ,符合; 10 分
若 或 为直角时,不妨设 为直角,
则 ,即 ,
所以 .
又 ，联立方程组解得 或 (舍去)，
所以 ，
所以 ,符合.
综上, 或 . 12 分
(3)由直线 的方程 ，知 .
因为点 为点 关于 轴的对称点,所以 ,
所以直线 的方程为 ,
令 ,得点 的横坐标为 , 14 分
因为 , 所以 ,
所以 为定值. 17 分
19. (17 分)
(1)设“恰好 2 次操作后袋中球的颜色全部相同”为事件 ，根据操作的规定，
事件 A 发生即 “恰好 2 次操作后袋中 5 个球的颜色都为黑色”, 2 次操作,
其中 1 次取出 1 红 1 黑，另一次取出 2 红. 2 分
所以 . 4 分
(2)操作 2 次后， 的可能取值为2,3,4,5， 5 分
6 分
7 分
8 分
9 分
所以 的分布列为
2 3 4 5
100 6 25 57 9 50
10 分
(2)记执行上述操作 次后，盒子中黑球的个数为 ，
设 ,
则 , 11 分
则 ,
13 分
所以,
15 分
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,
所以 ,
所以 . 17 分

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