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惠州市 2026 届高三模拟考试 数 学
全卷满分 150 分, 时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2. 作答单项及多项选择题时,选出每个小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题满分 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项 中, 只有一项符合题目要求, 选对得 5 分, 选错得 0 分。
1. 已知全集 ，集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. 1 B. C. 2 D.
3. 已知圆锥的高为 4 , 底面半径为 3 , 则其侧面积为
A. B. C. D.
4. 已知向量 ，若 ，则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
5. 已知抛物线 的焦点为 ,抛物线上一点 到焦点 的距离为 3,则 的面积为
A. B. C. 2 D.
6. 已知随机变量 的分布列为
-1 0 1 2 3
0.3 0.3 0.2 0.1
设函数 ,若 ,则函数 的值域为
A. B.
C. D.
7. 将函数 图象上的点 向左平移 个单位长度得到点 , 若 在函数 的图象上，则 的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,当 时, 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求。全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列命题正确的是
A. 数据4,4,4,6,6,7,8,8的众数是 4
B. 数据7,9,12,15,9,14,18的极差是 11
C. 数据2,3,3,5,7,8,9的 60% 分位数是 6
D. 数据 的平均数为 2,方差为 4,则数据 , 的平均数为 5,方差为 16
10. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一, 激活函数是神经网络的重要组成部分. 函数 是其中重要的激活函数之一,则
A. 有且仅有一个零点 B. 在区间 上不单调
C. 存在唯一极值点 D. 恒成立
11. 已知点 在曲线 上， ，则
A. 点 不可能在第三象限
B. 点 可能在直线 上
C. 当点 在第一象限时, 的最小值为
D. 当直线 与曲线 有两个交点时, 的取值范围为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____.
13. 直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,与 交于 两点, ,则 _____.
14. 在平面四边形 中, 与 均是正整数且 ，则四边形 的面积的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最大值.
16. (15 分)
某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件, 现收到一批零件共有 10 个, 其中不合格的零件占总数的 ，从中随机抽取 3 个零件，设抽到的不合格的零件数为 .
(1)求 的值. 小明的求解过程如下:
因为不合格的零件占总数的 ,所以 ,
故 .
请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程;
(2)若抽到的 3 个零件中至少有 1 个为不合格零件，求恰好有 2 个为不合格零件的概率;
(3)对抽取的 3 个零件进行检测，每个零件的检测费用为 10 元，每发现 1 个不合格品,需额外支出 25 元的处理费用.设本次检测的总费用为 元,求随机变量 的分布列与数学期望.
17. (15分)
如图所示，正四棱锥 的底面边长为 ， ，延长 到点 ， 使 ,连接 .
(1)证明: 平面 ；
(2)若 为等边三角形，点 是线段 上的动点，记 与平面 所成的角为 ,求 的最大值.
18.(17分)
已知函数 ,其中 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ，
(i) 证明: 在区间 内有且仅有 1 个零点；
(ii) 设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明:
19. (17 分)
已知双曲线 的右焦点为 ,离心率为 2,过 作垂直于 轴的直线,该直线被 截得的弦长为 6 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若面积为 3 的 的三个顶点均在 上，直线 经过坐标原点，直线 经过右焦点 ,求直线 的方程;
(3)已知 ，过点 的直线 与 在 轴的右侧交于不同的两点 ， 直线 上是否存在点 满足 ,且 若存在,求 的坐标, 若不存在, 请说明理由.
惠州市 2026 届高三模拟考试 数学参考答案与评分细则
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题满分 5 分, 共 40 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A B C C B
1. 由题意可得: ,则 ,故选: A.
2. ,则 ,故选: B.
法二: 由 ,则 .
3. 圆锥高 ，底面半径 ，母线长 ， 圆锥侧面积为 ,故选: D.
4. 因为 ,所以 ,由 可得, ,即 ,整理得: . 故选: A.
5. 由题可知 的焦点是 ,准线方程是 ,故 . 设点 的坐标为 ,由抛物线的定义可知 ,即 ,点 在抛物线上, 所以 ,故选 B.
6. 由总概率和为 1 , 可得 ,所以当 时, , 当 时， ， 当 时, , 所以函数 的值域为 . 故选 C.
7. 由题意得 ,
所以点 向左平移 个单位长度得到点 ,代入 ,
可得 ,则 ,
即 ,又 ,所以 的最小值为 . 故选 C.
8. 因为 ,则 ,
所以 ,即 ,
由 ,所以 ,则 在 上单调递增,
由 得 ,
根据函数单调性有 ,
因为 ,所以 ,所以 在 恒成立,
即 所以 ,解得 ,故选: B.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题满分6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
全部正确选项 ABD ACD AC
9. 对于 ,数据中 4 出现三次,出现次数最多,所以该组数据的众数是 4 ,故 正确; 对于 ,数据从小到大排列为:7,9,9,12,14,15,18,所以极差是 ,故 正确;
对于 ,数据已按从小到大排列,由 ,可得第 60%分位数为第 5 个数,即为 7,故 错误;
对于 ,数据 的平均数为 2,方差为 4,则数据 的平均数为 ,方差为 ,故 D 正确. 故选 ABD.
10. 对于 ,由 ,当 时 ,则 有且仅有一个零点,故 正确;
对于 ,当 时, 恒成立,
故 恒成立,则 在区间 上单调递增,故 错误;
对于 ,设 ,当 时, ,当 时, ,
存在 ,使得 ,
又 单调递增,故当 时 ,当 时 ,
则 存在唯一极小值点 ,故 正确;
对于 ,由 ,得 , 又 ,故 ,故 D 正确. 故选 ACD.
11. 当 时,曲线 变为 , 是椭圆 落在第一象限及与 轴, 轴的正半轴交点的部分; 当 时,曲线 为 ,是双曲线 落在第四象限的部分; 当 时,曲线 为 ,是双曲线 落在第二象限的部分;
当 时,曲线 为 ,方程左边负、右边正,不成立,因此曲线 在第三象限无点: 作曲线 如下图:
对于 : 由图可知 上不存在位于第三象限的点,即点 不可能在第三象限,故 正确;
对于 : 因为直线 既是双曲线 的一条渐近线,也是双曲线 的一条渐近线,所以直线 与曲线 没有交点,即点 不可能在直线 上,故 错误;
对于 : 由题可知,点 是椭圆 在第一象限上的点 为椭圆左焦点,设其右焦点为 ,所以 ,因为 在椭圆 内,所以 , 所以 ,故 C 正确;
对于 D: 由 得: ,
因此 ,解得 ,所以直线 在第一象限与椭圆 相切得: . 结合图象和 选项可得,所以直线 与曲线 有两个交点时 ,故 D 错误.故选 AC.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 30 13. 14.
12. 法一: 由等比数列 ,可得 ,故 ,所以 .
法二: 由等比数列 可得: ,所以 . 故答案为 30 .
13.因为直线 与 轴交于 ,与 轴交于 ,所以 , 所以 ,圆 的半径为 ,直线 经过圆心 ,故 ，即 ；故答案为 .
14. 如图,因为 ,由四边形内角和得 ,
因为 与 均是正整数且 ,则 或 3,
可得 或 或 ,
① 当 时， ，不合题意；
② 当 时， ，合题意；
③ 当 时， ，不合题意，所以 ，
延长 交于点 ,过点 作 于点 ,
向左平移直线 ，当点 与点 重合时，不存在四边形 ，
在 中， ，由正弦定理得 ，
所以 ;
向右平移直线 ，当点 与点 重合时，不存在四边形 ， 因为 ，所以 ，所以 ，故答案为
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分, 其中第一小问 5 分, 第二小问 8 分。)
(1)由条件有 时, , 1 分
又 ,所以 , 2 分
则 , 3 分
经检验, 满足 , 4 分
所以 的通项公式 ; 5 分
高三数学答案
注:①解答过程中未求 扣 1 分；②解答过程中未检验 4 满足 ”扣 1 分.
(2)由(1)得数列
6 分
7 分
则
8 分
9 分
10 分
因为 ,所以 , 12 分
又 ,故 的最大值为 7 . 13 分
16. (本小题满分 15 分，其中第一小问 4 分，第二小问 6 分，第三小问 5 分。)
(1)解答过程不正确, 1 分
因为抽取过程不是独立重复实验,故 不服从二项分布, 2 分
服从超几何分布,不合格的零件数为 2,所以 4 分
注: 概率公式 1 分, 计算结果 1 分.
(2)由(1)可知 ， 5 分
6 分
设事件 A 为 “抽到的 3 件中恰好有 2 件不合格”, 事件 B 为 “抽到的 3 件中至少有 1 件不合格” 8 分
故所求概率为 ; 10 分
注: 概率公式 1 分, 计算结果 1 分.
(3)依题意有 ，即 的所有可能取值为 30，55，80， 11 分
高三数学答案
, 12 分随机变量 的分布列为
Y 30 55 80
7 15 7 15
13 分
所以随机变量 的数学期望为 . 15 分
17. (本小题满分 15 分, 其中第一小问 6 分, 第二小问 9 分)
(1)证明: 连接 ,
因为正四棱锥 中, ,所以 平面 1 分
又因为 平面 ,所以 , 2 分
因为 ,所以 , 3 分
即 , 4 分
又 交 于点 平面 , 5 分
所以 平面 ; 6 分
(2)由(1)可知， 、 、 两两垂直，故以 为原点， 、 、 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 7 分
因为正四棱锥 的底面边长为 为等边三角形
所以 ,
所以 ,则 , 8 分
则 分由点 是线段 上一动点,可设 ,
则 , 10 分
设平面 的一个法向量为 ,
由 , 11 分
令 ,得 ,故 . 12 分
则 , 13 分
因为 所以 , 14 分
当 时 的最大值是 . 15 分
18. (本小题满分 17 分, 其中第一小问 5 分, 第二小问 6 分, 第三小问 6 分。)
(1)解: 由已知, 的定义域为 , 1 分
2 分
当 时, ,从而 , 3 分
所以 的单调递减区间为 ,无单调递增区间; 5 分
注: 解答过程中未说明单调递增区间情况不扣分.
(2) 证明: 由 (1) 知 . 令 ,
则 ,故 在 上单调递减, 6 分
所以存在唯一的 ,使得 , 7 分
则 在 上单调递增,在 上单调递减, 8 分
令 ,则当 时, ,故 在 内单调递减,
从而当 时, ,所以 . 9 分
从而当 时, ,且 10 分
又因为 ,所以 ,则 在 内有唯一的零点. 11 分
注: 解答过程中用 时 扣 1 分.
(ii) 由题意, 即 , 13 分
从而 ,即 . 14 分
因为当 时, ,又 ,
高三数学答案
故 ,即 , 15 分
两边取对数,得 , 16 分
于是 ,整理得 . 17 分
19. (本小题满分 17 分，其中第一小问 3 分，第二小问 5 分，第三小问 9 分。)
(1) 令 ,解得 ,所以有 , 1 分
又由离心率为 2,得 , 2 分
解得 ,所以双曲线 的标准方程是 . 3 分
(2)设 ，由已知，得 ，根据直线 过原点及对称性，
知 , 4 分
联立方程,得 ,化简整理,得 , 5 分
所以 ,且 , 6 分
所以 ,解得 , 7 分
所以直线 的方程是 或 . 8 分
注: 解答过程中直线 的方程只写出一个的扣 1 分.
(3)若直线 斜率不存在,此时直线 与双曲线右支无交点，不合题意, 9 分
故直线 斜率存在,设直线 方程 ,联立方程,得 ,
化简整理,得 ,
依题意有 ,因为 恒成立,
所以 ,故 ,结合 解得: , 10 分
设 ,由韦达定理,得 , 11 分设点 的坐标为 ,由 ,得 ,
则 ,变形得到 , 12 分
将 代入，解得 ,
将 代入 中，解得 , 13 分
又因为 ,则 ,
即 , 14 分
将点 的坐标代入该方程得到 ,
整理得 ,即 15 分
令 ,则 在区间 上单调递减,又 ,故当 时, 恒成立,即方程 在 内无解, 16 分故直线 上不存在点 使得 ,且 成立. 17 分

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