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试卷类型:A
绝密★启用前
2026 年普通高等学校招生全国统一考试 (第二次模拟考试) 数 学
1. 考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区域。 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 做选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合 ,若 ,则 的值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 若复数 与复数 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则
A. 5 B. -5 C. 3 D. -3
3. 设函数 若 ,则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知双曲线 的渐近线方程为 ,且实轴长为 2,则焦距为
A. B. 2 C. D. 4
5. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,已知角 的终边在第一象限,且 ,将角 的终边按照逆时针方向旋转 后得到角 的终边,则
A. B. C. D.
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 如图所示，在 中， ， 是 的中点，点 在 上， 且 ,则
A.
B.
C.
D.
8. 已知 ,若圆 上总存在点 满足 ,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设 为不同的直线, 为不同的平面,则下列结论中正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知 是等比数列 的前 项和,满足 成等差数列,则
A. 成等比数列 B. 成等差数列
C. 成等比数列 D. 成等差数列
11. 现进行如下试验: 从 中任选一个数,记为 ,若 ,则试验结束; 否则再从 中任选一个数,记为 ,若 ,则试验结束; 否则再从 中任选一个数,依次类推,直至选中 1 为止. 记事件 “试验过程中,数字 被选到”, 表示事件 发生的概率 ,则
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 的展开式中，含 的项的系数是_____.
13. 已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合,若椭圆 与抛物线 在第一象限的交点为 且 ,则椭圆 的离心率为_____.
14. 在 中，内角 的对边分别为 ，若 成等差数列，则 的最小值为_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量预测数学考试成绩进行汇总(所有学生的数学成绩都不低于 30 分)，整理后得到如下图所示的频率分布直方图:
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计该校学生数学成绩的第 70 百分位数；
(2)若该校高三学生共有 1200 人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于 80 至 100 之间的学生中抽出 8 人，再从这 8 人中选出 3 人，记 ξ 为 3 人中分数在 的人数，求 的分布列和数学期望.
16. (15分)
在 中，角 的对边分别为 ，若 ，
(1)求 的大小；
(2)如图所示， 为 外一点， ， ,求 外接圆的半径.
17. (15 分)
如图，在平行六面体 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧棱 ，且
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知 两点的坐标分别是 和 ,直线 相交于点 ,且直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)已知 上存在三点 ，且 关于直线 对称.
① 求 的取值范围;
②若 为等边三角形，求 .
19. (17 分)
已知函数 .
(1)讨论 在 上的单调性;
(2)已知 为 的导数，若两个不相等的实数 满足 ,求证: .
2026 年普通高等学校招生全国统一考试 (第二次模拟考试) 数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. C 2.B 3. A
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9.BD 10.ABD 11.BCD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 16
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 解: (1) 由题意得 ,
解得 。 .2 分
因为 ,
所以该校学生数学成绩的第 70 百分位数位于 内,设其为 ,
则 ，解得 。
故估计该校学生数学成绩的第 70 百分位数为 75。 .5 分
(2)因为
所以 8 人中等级分数位于 内的人数分别为 6,2 .7 分
由题知 的所有可能取值为1,2,3,
11 分
所以 的分布列为
1 2 3
15 28 5 14
所以 .13 分
16. 解: (1) 由正弦定理得 ,
, .2 分
由三角形内角和知， ，则 ，
代入后化简 ，
,即 , .4 分
, .5 分
. .6 分
(2)令 ,在 中,由正弦定理得,
① .8 分
由正弦定理得， ， ， ② .11 分
由①②得， 即 ，
因为 ,解得 , .13 分
由正弦定理得 ，解得 ， 的外接圆半径为 . ...... 1.5 分 17. 解: (1)以 为坐标原点, 方向为 轴, 轴正方向, 轴为经过点 且垂直于底面向上方向,建立空间直角坐标系,则 .
由题意 .
. 不妨设 ,
则 ,得 .
,得 .
又 ,可得 .
从而 . ..3 分
所以 ,所以 . .5 分
由正方形 知 ，且 ，所以 平面 . .7 分
(2) 由题意得 ,
设平面 的法向量为 ,
则 可得
取 ，则 ，从而 . .10 分由(1)知 平面 ，则平面 的一个法向量为 . .11 分设平面 与平面 夹角为 ，则
.15 分
18. 解: (1) 设点 .
因为直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2,
所以 , .2 分
化简得 . ..4 分
(2)因为 关于直线 对称，所以直线 的斜率为-2 .
设直线 的方程为 ,
联立 消去 可得 .
所以 所以 中点坐标 . .7 分
因为点 在直线 上,所以 .
若直线 过点 ,则 ,
若直线 过点 ，则 .
综上所述， 的取值范围是 ..9 分
(3)因为 为等边三角形，
所以点 在直线 ，设 ，则 ，
所以 ,化简得 ① .12 分
因为点 在直线 ，所以 ②. .14 分
由①②消 得 .
因为 ，所以 ，
所以 . .17 分
19. 解: (1) 求导可得
(a) 当 时 ，则 在 单调递增 .2 分
(b)当 时， ，则 在 单调递增 .4 分
(c) 当 时,设 ,
可知 在 上单调递增 .6 分
所以存在 使得 满足 .7 分
则 单调递减, 单调递增,
.8 分
所以 有 在 单调递增;
综上所述， 在 上单调递增 .9 分
(2)由题意可得 .10 分
不妨设 ,则 11 分
先证明当 时,有 .
设 . 则
所以 在 单调递减 ,即当 有 .13 分
于是有
所以 ,故有 . .17 分

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