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运城市 2026 年高考考前适应性测试 高三数学试题
2026.04
本试题满分 150 分, 考试时间 120 分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项:
1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2. 答题时使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 保持卡面清洁, 不折叠, 不破损。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 双曲线 的焦距为
A. B. C. 6 D.
2. 设集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 运城，因 “盐运之城” 而得名，它是一座因盐而建立起来的城市，史称 “盐运专城” . 甲、乙两名游客从运城的 7 个 AAAA 级旅游景区(含运城盐湖和鹳雀楼)中各选 3 个景区去旅游，则甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有
A. 200 种 B. 225 种 C. 300 种 D. 400 种
4. 若函数 的最小正周期为 ,则曲线 的对称中心的坐标为
A. B.
C. D.
5. 函数 的值域为
A. B. C. D.
6. 设正数 分别是复数 的实部、虚部,且 ,则 的最小值为
A. B. C. D. 4
7. 已知点 在椭圆 的内部, 为 的左焦点, 为 上的动点, 若 的最大值大于 ,则 的离心率的取值范围为
A. B. C. D.
8. 若 对 恒成立，则当 取得最小值时，
A. B. 1
C. D. 2
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 ,则 的值可以为
A. B. C. D.
10. 已知一组数据由 5 个正整数组成, 且这组数据中至少有 1 个 8 , 则关于这组数据的描述可能是
A. 中位数为 3 且平均数为 5 B. 平均数为 4 且众数为 4
C. 平均数为 4 且方差为 3.2 D. 中位数为 5 且方差不小于 7.2
11. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知正四面体 的四个顶点的坐标为 , ,点 在四面体 外接球的球面上，且 平面 ，点 在四面体 内切球的球面上，则 A.
B. 的最大值是最小值的 2 倍
C. 四面体 外接球的体积为
D. 当 取得最小值时,点 的坐标为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 若 为偶函数，则 _____.
13. 已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为 ，高为 ，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为_____.
14. 在 中, 为 边上一点,若 与 的内切圆的半径相等,设 ,则 _____(用 表示).
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
已知等差数列 的公差为 .
(1)若 ，求数列 的前 项和 ；
(2)若数列 为递减数列，求 的取值范围.
16. (15分)
将正方体 截去三棱锥 后得到如图所示的几何体，且 为 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求二面角 的正弦值.
17. (15 分)
小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这 4 人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李既打羽毛球又打乒乓球，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球. 在雨天的情况下,小张、小李、小周打乒乓球的概率均为 0.3 ,小张、小李、小王打羽毛球的概率均为 0.3 ; 在晴天或阴天的情况下,小张、小李、小周打乒乓球的概率均为 0.4 ,小张、 小李、小王打羽毛球的概率均为 0.5 ; 在其他天气这 4 人不打球. 已知周日出现晴天或阴天的概率为 0.5 , 出现雨天的概率为 0.1 . 假设这 4 人打球的选择相互独立、互不影响.
(1)求小张周日打羽毛球的概率；
(2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这 4 人中打乒乓球的人数不少于 2 的概率；
(3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这 3 人中当天打球的人数为 ，求 的数学期望.
18. (17分)
(1)若 ，证明: .
(2)若 ，证明: .
(3)若 , ,求 的取值范围.
19.(17 分)
在平面直角坐标系 中,设抛物线 的焦点为 ,点 ,且向量 与 共线.
(1)求 的方程.
(2)已知动直线 与 交于 两个不同的点.
(i)若 过点 且斜率小于 0，证明:以 为直径的圆被 轴截得的弦长大于 4。
(ii)若 不经过点 ，且 平分 ，求 的外接圆圆心的轨迹方程.
运城市 2026 年高考考前适应性测试 高三数学参考答案
1. D 双曲线 的焦距为 .
2. 因为 ,所以 .
3.C 依题意可得甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有 种.
4. B 因为 ,所以 ,令 ,得 ,所以曲线 的对称中心的坐标为 .
5.C 由 ,得 ,则 ,则 为增函数,所以 .
6. A 依题意得 ,因为 ,所以 , 所以 ,即 ,所以 . ,当且仅当 ,即 时,等号成立,故 的最小值为 .
7. A 设 的右焦点为 ，因为点 在 的内部，所以 .
由椭圆的定义知 ，所以 ，则 ,则 的最大值为 ,所以 ,又 ,所以 ,此时 满足 ,所以 的离心率 .
8. 由 ,得 .
设函数 ,则 ,则 在 上单调递增.
因为 ,所以 存在唯一的零点 ,且 .
当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,
当 时, ,当 时, .
作出 的大致图象,如图所示,直线 的斜率大于 0,在 轴上的截距为 ,
由图可知, 的最小值为 1,此时 .
9. BD 依题意得 ,
则 ,则 ,或 ,则 ,或 ,则 的值可以为 .
10. ABD 若这组数据为2,3,3,8,9，则其中位数为 3 且平均数为 5，A 正确.
若这组数据为1,3,4,4,8，则其平均数为 4 且众数为 4，B 正确.
若这组数据的平均数为 4 ，且至少有 1 个 8 ，则这组数据的方差 4) 错误.
若这组数据为2,2,5,8,8,则其中位数为 5 且方差为 7.2,也可取其他差距大的数字,使方差大于 7.2, D 正确.
11. ABD 四面体 的直观图如图所示. 设顶点 在底面 上的射影为 ,连接 ,则 平面 ,连接 并延长,交 于点 ,易得 为 的中点. 因为 ,所以 ,所以 ,则 ,则 正确. 设四面体 外接球的球心为 ,则 在 上,设 ,则 ,解得 ,所以四面体 外接球的半径为 3,四面体 外接球的体积为 错误.
易得四面体 内切球的半径 ，内切球的球心为 ，则 的最大值为 ,最小值为 , B 正确.
因为 平面 ,所以 ,又因为 ,所以 ,解得 或 (舍去), . 当 取得最小值时, ,即 ,得 , D 正确.
12.3 因为 为偶函数,所以 ,即 ,所以 ,则 .
13. 设该三棱台为正三棱台 ,且 ,设该三棱台的上、下底面的中心分别为 ,则 . 过 作 ,垂足为 ,则 ,且该三棱台的侧棱与底面所成的角为 . 因为 ,所以 ,
故 .
14. 由余弦定理得 ,则 . 设点 到 的距离为 ，因为 与 的内切圆的半径相等，
所以 ,则
,整理得 ,则 .
15. 解: (1) 因为 ,所以 , 2 分
所以 , 3 分
所以 5 分
. 6 分
(2)设 ，则 . 8 分
当 为奇数时, , 9 分
因为数列 为递减数列,所以 ,得 . 10 分
当 为偶数时, , 11 分
因为数列 为递减数列,所以 ,得 . 12 分
故 的取值范围是 . 13 分
16.(1)证明:取 的中点 ，连接 ， . 1 分
易证 ,且 , 2 分
又 为 的中点，所以 ，且 ， 3 分则四边形 是平行四边形,所以 . 4 分因为 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图所示.
设 ,则 8 分
设平面 的法向量为 ,则 令 ,得 . 10 分
设平面 的法向量为 ,则 令 ,得 . 12 分
设二面角 的平面角为 ,则 14 分
所以二面角 的正弦值为 . 15 分
17. 解:(1)设小张周日打羽毛球为事件 ，
则由全概率公式可得 ,
故小张周日打羽毛球的概率为 0.28 . 3 分
(2)设某个周日是晴天或阴天，当天这 4 人中打乒乓球的人数不少于 2 为事件 ，
则 ,
故当天这 4 人中打乒乓球的人数不少于 2 的概率为 0.352 . 7 分
(3)因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为 ， 9 分
在雨天的情况下，小王、小周打球的概率均为 0.3 . 10 分
(方法一)在雨天的情况下,设小李、小王、小周打球 (打球记为 1 ,不打球记为 0 ) 的人数分别
为 ,所以 , 12 分
则 , 故 的数学期望为 1.2 . 15 分
(方法二) 的可能取值为0,1,2,3,
则 , 11 分
, 12 分
, 13 分
, 14 分
则 ,故 的数学期望为 15 分
18.(1)证明:设 ,则 , 1 分
因为 ,所以 恒成立,所以 是增函数. 2 分
3 分
又 ,所以 ,因为 是增函数,所以 . 4 分
(2)证明:因为 是增函数，所以当 时， . 5 分
设 ,则 . 6 分
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减，所以 . 7 分
由题意得 , 8 分
即 ,则 . 9 分
(3)解: , 10 分
由 ,得 ,因为 是增函数,所以 . 11 分
12 分
令 ,则 ,当 时, 单调递减,当
时, 单调递增, 13 分
所以 . 14 分
令 ,则 ,当 时, 单调递减，当 时， ， 单调递增， 15 分
所以 . 16 分
由题意得 ,即 ,所以 的取值范围为 . 17 分
19. 解: (1) 由题意知 , 1 分
则 ，因为向量 与 共线，所以 ， 2 分解得 ,故 的方程为 . 3 分
(2)(i)证明:设 的方程为 ，代入 ，得 ， 4 分
设 ,则 , 5 分
则 . 6 分
设以 为直径的圆为圆 ,且圆心 的坐标为 ,则 ,
则圆心 到 轴的距离 , 7 分
所以圆 被 轴截得的弦长为 8 分
因为 ,所以 ,则 ,即以 为直径的圆被 轴截得的弦长大于 4 . 9 分
(ii)因为 平分 ，所以直线 与 关于直线 对称，
又直线 的方程为 ,且点 关于直线 对称的点为 , 所以 ,即 . 10 分
将 代入 ,得 ,因为 ,所以 11 分
当直线 的斜率不存在时, ,此时 重合,这显然不符合题意,则直线 的斜率存在. 设 的方程为 ,代入 ,得 ,则 ,解得 . 12 分
由 ,得 或 ,由 平分 都在 上, 得 均位于第一象限,则 . 13 分
设 外接圆的圆心为 ,线段 的中点坐标为 ,则 ,所以线
段 的垂直平分线的方程为 ,整理得 ①.
同理可得线段 的垂直平分线的方程为 ②. 14 分由 ,及①②可得 .
因为 , 15 分所以线段 的垂直平分线的方程为 ,
将 代入上式可得 . 16 分
因为 ,所以 ,故 的外接圆圆心的轨迹方程为 .
17 分

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