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高三第二次教学质量检测 数学试题
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1. 复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ,则符合条件的集合 的个数为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 已知向量 与 的夹角为 ,则
A. B. C. 1 D. 3
4. 平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案. 其画法是:取第一个正方形 各边的四等分点 作第二个正方形，再取正方形 各边的四等分点 作第三个正方形,以此方法一直循环下去, 就可得到阴影部分图案,如图所示. 设正方形 边长为 ,后续各正方形边长依次为 . 若 ,则 等于
第 4 题图
A. B. C. D.
5. 已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 1,一个焦点在抛物线 的准线上, 则双曲线的顶点到渐近线的距离为
A. 1 B. C. 2 D.
6. 已知圆台的上、下底面的半径大小分别为 2 与 4,其母线与下底面所成角的余弦值为 ,则该圆台体积的大小为
A. B. C. D.
7. 设 ,随机变量 的分布列为
0 1
1 2
则
A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减
C. 的最小值为 D. 的最大值为
8. 在平面上有等腰直角三角形 为直角顶点, , 若 到直线 的距离分别为 和 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知一组大小不等的数据 的平均数为 ,方差为 ,标准差为 ,极差为 ,若 ,则下列关于数据 的结论正确的是
A. 平均数为 B. 方差为 C. 标准差为 D. 极差为 -2a
10. 在 中,角 所对的边分别为 ,且满足 ,则
A.
B.
C.
D. 内切圆半径的大小为
11. 抛物线有如下光学性质: 平行于抛物线的对称轴的光线, 经过抛物线反射后通过它的焦点; 从抛物线焦点发出的光线经抛物线反射后, 沿平行于其对称轴的方向射出; 入射光线与反射光线所成夹角的角平分线垂直于反射点处的切线.如图, 为坐标原点,一束光线从点 出发平行于 轴射入抛物线 ,经过两次反射后经点 平行射出, 轴,设反射点分别为 ,过点 分别作 的角平分线,两线交于点 ,则
第 11 题图
A. 当 时, B. 直线 与 的交点在定直线上
C. 点 在线段 的垂直平分线上 D. 面积的最小值为 2
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 的展开式中二项式系数之和为 128，则其展开式中系数最小项的系数为_____.
13. 已知函数 在区间 上单调递减，且函数图象关于 中心对称， 则 _____.
14. 已知定义在 上的函数 ,其导函数为 ,对 ,满足 ,点 分别为曲线 和直线 上的动点, 则 的最小值等于_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知递增数列 满足 .
(1)证明: 为等差数列，并求 .
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
16. (本小题满分 15 分)
第 16 题图
已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)记点 为椭圆 的左顶点，点 为椭圆 的下顶点，动点 是第一象限内椭圆 上的一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . 证明:四边形 的面积为定值.
17. (本小题满分 15 分)
在学校举行的科学教育知识竞赛中, 甲、乙两位同学进入了决赛, 决赛以抢答的形式回答问题, 一共回答 3 道题,每道题均从题库中随机抽取,若每道题甲、乙抢到的概率均为 ,每道题甲回答正确的概率均为 ,每道题乙回答正确的概率均为 . 比赛规定每道题由先抢到的同学回答,回答正确, 该同学得1 分, 回答错误, 对方得1 分, 得分高的同学获胜. 甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立.
(1)若 ，设比赛结束甲的得分为 ，求 ；
(2)为增加比赛的趣味性，拟由 3 道题增加到 5 道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？ 请说明理由.
18.(本小题满分 17 分)
如图，在直四棱柱 中， .
(1)证明: 平面 ；
第 18 题图
(2)动点 满足 ，且点 在同一球面上，设该球面的球心为 ,半径为 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 当 最大时,求平面 与平面 的夹角的余弦值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对 恒成立，求 的值；
(3)证明: .
2026 年高三模拟考试 (二模)
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】D.
,在复平面内对应点为 ,故选 D.
2.【答案】C.
,所以其真子集有 7 个,故选 C.
3.【答案】D.
,所以 ,由于 ,所以 ,故选 D.
4.【答案】B.
由题意知, ,由于 ,故 ,所以数列 是首项为 1,公比为 的等比数列,故 ,故选 B.
5.【答案】A.
由题知 ,则双曲线的一个顶点为 ,一条渐近线为 ,距离为 1 . 故选 A.
6.【答案】B.
由条件知圆台的高为 4,所以该圆台体积为 ,故选 B.
7.【答案】C.
,
最小值为 , 故选 C.
8.【答案】A.
建立平面直角坐标系 ,不妨设 ,则直线 的方程为 , 设 ,则 ,由 得 可得 ,故 ,
不妨设 ,于是
. 故选 A.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9.【答案】AB.
由题意可知数据 的平均数为 ,方差为 ,标准差为 ,极差为 , 于是选项 A、B 正确, 选项 C、D 错误, 故选 AB.
10.【答案】ACD.
由条件知 ,
根据余弦定理可得 ,所以 ,因此 .
于是 ,根据正弦定理得 ,于是选项 正确; 又 ,
解得 ,所以 ,
,所以选项 B 错误;
所以 ,
根据正弦定理知 ,选项 C 正确;
因此 ，设 内切圆半径的大小为 ，则 ，解得 ，所以 内切圆半径的大小为 ，选项 D 正确. 故选 ACD.
11.【答案】ABC.
由抛物线标准方程可知, ,设直线 方程为 , 将直线方程代入抛物线方程可得, ,则 ,
当 时,直线 ,所以 , A 正确;
直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
所以 ,
所以直线 与 的交点在定直线 上, B 正确;
过点 作 于点 于点 于点 ,
因为 的角平分线交于点 ,所以 , ,又 ,所以点 三点共线,所以点 为 中点，因为 轴，所以四边形 为矩形，所以 ,所以点 在线段 的垂直平分线上, 正确;
取 的中点 ,则 ,且 ,
所以 的面积为
,
当 时, 的面积有最小值 4, D 错误.故选 ABC.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.【答案】-35.
二项式系数和为 展开式的通项为 ,所以当 时,项的系数最小,为 .
13.【答案】 .
因为 ,所以 ,因为函数图象关于 中心对称,所以 ,所以 或 . 若 ,当 时, ,函数 递增; 若 ,当 时, ,函数 递减. 所以 .
14.【答案】 .
由已知有 ,即 ,设 ,则 ,由 ,得 ,故 ,设与 平行且与 相切的直线方程为 ,由 ,得 ,故切点坐标为 ,切线为 ,且 ,得 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
(1) 由条件知 ,
即 , 1 分
所以
于是 或 .3 分
由 为递增数列,得 ,
故 ,
所以数列 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, .5 分
故 . .7 分
(2) 由 (1) 知 , .10 分 . .13 分
16.(本小题满分 15 分)
(1) 由题意可知 ,
所以 ,
所以椭圆的方程为 .4 分
(2)由(1)可知点 ，设点 坐标为 ，则 ①, .5 分
则直线 的方程为 ,与 轴交于点 , .7 分
直线 的方程为 ,与 轴交于点 , .9 分
所以 ,
.11 分
所以四边形 的面积为
.13 分
由①有 ,
所以四边形 的面积为定值 . .15 分
17. (本小题满分 15 分)
每一题甲抢到并回答正确的概率为 , 1 分
每一题乙抢到并回答错误的概率为 , .2 分
所以,每题甲得 1 分的概率均为 , .4 分
(1)当 时，
又甲、乙回答每道题正确与否均相互独立,所以 , .6 分于是 . .7 分
(2)设回答 3 题时甲获胜的概率为 ，回答 5 题时甲获胜的概率为 ，
则 , .9 分
回答 5 题时甲获胜有三种可能:前 3 题甲均得分；前 3 题甲有 2 题得分，增加两道题甲至少有 1 题得分; 前 3 题甲有 1 题得分, 增加两道题甲都得分, 则有
11 分
所以
12 分
于是当 时, ,甲获胜的概率增大;
当 时, ,甲、乙获胜的概率相同;
当 时, ,甲获胜的概率减小.
综上, 增加两题后, 甲获胜的概率未必增大, 而是答题能力强的同学获胜的概率增大.
.15 分
18.(本小题满分 17 分)
(1) 证明: 因为在直四棱柱中, 平面 ,
所以 , 1 分
因为 ,
所以 ,
在 中, ,
所以 , .3 分
因为 ,
所以 平面 . .4 分
(2)因为在直四棱锥中， ， ， ，
所以四边形 为平行四边形,四边形 为正方形,
所以 平面 ,
所以 两两互相垂直,以点 为原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 , .6 分
.8 分
根据题意可得: , ,
(i) 取 中点 中点 , 因为球 经过点 ，且 为等腰直角三角形， 以球心 在直线 上,
设 ,则
点 在球 上,所以 ,
即 ,
故 , 10 分
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以球的半径 的取值范围是 . .12 分
(ii) 当球的半径 最大时, ,即点 与点 重合, 此时 ,设平面 的法向量为 ,则有 解得
取 ,得平面 的一个法向量为 , .15 分
因为 平面 ,得到平面 的一个法向量 ,
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 . .17 分
19. (本小题满分 17 分)
(1) 定义域为 ,求导得 , 1 分
当 时, ,所以函数 在 上单调递减; 2 分
当 时,令 ,解得 ,
当 时, ,
故函数 在 上单调递减,在 上单调递增; .4 分
当 时, ,
故函数 在 上单调递增,在 上单调递减; .5 分
综上所述,当 时,函数 在 上单调递减;
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减. .6 分
(2)因 ，所以由(1)知 不符合题意，于是 . .7 分
若 ,则 ,于是由 (1) 可知当 时, ,不符合题意;
.8 分
若 ,则 ,于是由 (1) 可知当 时, ,不符合题意.
.9 分
所以实数 的值为 1 . 10 分
(3)证明:要证 ，
即证 ,
即证 , .11 分
由 (2) 知 在 上恒成立,其中当且仅当 时等号成立,
于是 对 恒成立. .13 分
分别令 代入上式,
可得 ,
.14 分
将上述 个不等式左右两边分别相加得
,
所以 , .16 分
所以 . .17 分

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