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数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第二册(除去导数综合应用)。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 数列 的一个通项公式为
A. B.
C. D.
2. 已知函数 的导函数为 ,若 ,则
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
3. 在正项等比数列 中,若 ,则
A. 3 B. 4 C. 9 D. 27
4. 在数列 中, ,则
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
5. 已知 为函数 的导函数,若 ,则
A. B. C. D.
6. 已知正四棱柱的体积为 1000 , 则其所有棱长的和的最小值为
A. 120 B. C. 144 D.
7. 已知 为等比数列 的前 项和, ,则
A. 0 B. C. -1 D. -5
8. 若函数 在区间 上有 2 个零点,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下面导数运算正确的是
A. B.
C. D.
10. 在某次足球比赛中,运动员甲带球突破,其运动路线可视为直线运动,且位移 (单位: ) 与时间 (单位:s)的函数关系式是 ,则
A. 在 这段时间内,运动员甲的平均速度为
B. 在 这段时间内,运动员甲的平均速度为
C. 运动员甲在 时的瞬时速度为
D. 运动员甲在 时的瞬时速度为
11. 如图，在纸片 中， ，且 的面积为32，取边 的中点 ，在该纸片中剪去以 为边的等边 得到新的纸片 ，再取 的中点 ，在纸片 中剪去以 为边的等边 得到新的纸片 ，再取 的中点 ，在纸片 中剪去以 为边的等边 得到新的纸片 ，以此类推得到纸片 ， ， ， ，设 的周长为 ，面积为 ，则
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若数列 的前 项和 ,则 _____.
13. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____.
14. 已知数列 的通项公式为 ,若满足 的正整数 恰有 2 个，则 的可能取值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 ,且 .
(1)求 的值；
(2)求曲线 在 处的切线方程.
16. (本小题满分 15 分)
已知数列 是等差数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 的最小值.
17. (本小题满分 15 分)
在数列 中, .
(1)证明: 是等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 的极小值为 .
(1)求 的值；
(2)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
设数列 的前 项和为 ,且 ,数列 满足 ,其中 .
(1)证明 为等差数列,并求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若不等式 对任意正整数 都成立,求实数 的最大值.
参考答案、提示及评分细则
1.C 数列 的各项都加上 2 后为 ,因此一个通项公式为 . 故选 C.
2. . 故选 .
3. A 由等比数列的性质可得 ,由正项等比数列易知 ,故 . 故选 A.
4. C 因为 . 所以 . 则数列 是周期为 2 的周期数列,故 . 故选 C.
5. 由 ,得 ,所以 ,解得 . 故选 B.
6. A 设正四棱柱的底面边长为 ,高为 ,则 ,即 ,正四棱柱的棱长之和 . 定义域为 ,令 ,得 ,当 时, 单调递减. 当 时, 单调递增,所以 时, 取到极小值 . 也是最小值,即正四棱柱的所有棱长的和的最小值为 120 . 故选 A.
7. D 由 知 ，所以 ， ，成等比数列，由等比中项，得 ,即 ,解得 或 (舍去). 故选 D.
8. 由 ,得 ,令 ,得 ,当 时, , 单调递增,当 时, 单调递减,所以 时, 取到极大值 ,又 在区间 上有 2 个零点,所以 且 . 解得 . 即 的取值范围是 . 故选 D.
9. 由导数的运算公式,得 ,故 AD 错误, BC 正确. 故选 BC.
10.BC 当 分别取 1,4,9 时, 的值依次为 2,16,54,所以在 这段时间内,运动员甲的平均速度为 ,在 这段时间内,运动员甲的平均速度为 ,故 错误, 正确; 由 ,得 ,所以运动员甲在 时的瞬时速度为 . 运动员甲在 时的瞬时速度为 ,故 正确, 错误. 故选 BC.
11. 在纸片 中, ,且 的面积为 32,边 的中点为 ,所以 且 ,由题意,得 比 多了两条边 ,少了线段 ,又 是等边三角形,所以 ,可得 ,故 A 正确; 由 ,得 ,所以 ,当 时, ,以上各式相加,得 ,所以 ,又 满足上式,所以 ,故 B 正确; 比 少了一个以 为边的等边三角形,所以 ,故 错误; 由 ，得 ，当 时， ,以上各式相加,得 ,所以 ,又 满足上式,所以 ,故 D 正确. 故选 ABD.
12. .
13. 由 ,得 ,因为 在 上单调递增,所以 在 上恒成立,即 ,又 在 上的最小值为一3,所以 ,即实数 的取值范围是 .
14. 100 或 102 或 106 当 时, , 解得 ,此时等式成立的每个 值,都只有一个 值,不符合题意; 当 时, ,即 ,若整数 恰有 2 个,则 ,解得 ,设该方程有两实数根 ,则 ,若 ,显然不合题意,则 ,则 ,若 , ,此时 ,解得 ,满足 ,符合题意; 若 ,此时 ,解得 102,满足 ,符合题意; 若 ,此时 ,解得 ,满足 ,符合题意,故 可取到的值有 106 或 102 或 100 .
15. 解: (1) 由 ,得 , 3 分
因为 ,所以 ,解得 . 6 分
(2)由(1)，得 ，所以 ， 8 分
由 ,得 , 10 分
所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 . 13 分
16. 解: (1)设等差数列 的公差为 ,
因为 ,所以 ,解得 , 4 分
所以 . 7 分
(2)由(1)，得 , 11 分又 ,所以 时, 最小, 的最小值为 -22 . 15 分
17. ( 1 )证明:因为 ， ，所以 ，即 ， 3 分
所以数列 是公差为 1 的等差数列. 6 分
(2)解:因为数列 是公差为 1 的等差数列， ，所以 ， 9 分
所以 . 12 分
设数列 的前 项和为 ,
则 . 15 分
18. 解: (1) 由 ,得 , 2 分
又 ,令 ,得 , 4 分
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增.
所以 有极小值 ,解得 . 7 分
(2) 由 ,得 ,
又 ,所以 ,
因为 对 恒成立,所以 . 10 分令 ,则 , 12 分
令 ,得 ,
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减.
所以 有极大值 ,也是最大值,即 . 15 分
所以 ,即 的取值范围是 . 17 分
19.(1)证明:当 时， . 则 . 1 分
当 时, .
即 ,即 是以 为首项,公差为 1 的等差数列,
故 . 4 分
(2)解:由(1)可得 , 5 分
故 ,
故 ,
则
8 分
故 . 9 分
(3)解: ,则 ,
即 , 11 分
即 对任意正整数 都成立, 12 分
令 ,
则 ,
故 , 15 分
即 随着 的增大而增大,
故 ,即 ,
即实数 的最大值为 . 17 分

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