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2027 届高二下学期期中考试模拟试卷(四)
一、单选题:
1. 已知复数 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 假设 是两个事件，且 ，则下列结论一定成立的是( )
A. B.
3. 已知数轴上有 10 个不同的点 的坐标为 ，且满足 ,从上述 10 个不同点中任取 4 个不同的点,则事件“存在 ,
，使得 ”的概率为( )
A. B. C. D.
4. 在 中, ,则 的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知向量 与 ， ， ，向量 在向量 方向上的投影向量是 ，则 ()
A. 4 B. 16 C. 1 D. 3
6. 已知函数 的图象关于坐标原点对称，则 的值为( )
A. 20 B. 50 C. 70 D. 90
7. 将甲、乙等 6 名志愿者分配到 3 个社区协助开展活动，每个社区至少 1 人，每个人只去 1 个社区，且甲、乙两人不在同 1 个社区，则不同的分配方法数是( )
A. 540 B. 504 C. 408 D. 390
8. 若存在 使得方程 有解,则实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题:
9. 下列说法正确的是( )
A. 若成对样本数据 都落在一条斜率存在且不为 0 的直线上,则变量 和变量 的样本相关系数 满足
B. 若 ，则事件 相互独立与 互斥不能同时成立
C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性,如果把 的列联表中所有的数据都扩大为原来的 10 倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响
D. 数据 的平均数和方差分别为 和 ,数据 的平均数和方差分别为 和 ，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为 和 ，若 ，则必有
10. 若双曲线 的左，右焦点分别为 ,过 的右支上一点 作圆 的切线，切点为 ，则下列结论正确的是( )
A. 若 ，则 的面积为 9
B. 若 为圆 上的一动点，则 的最小值为 3
C. 四边形 面积的最小值为
D. 的最小值为
11. 对于函数 ,下列说法正确的是 ( )
A. 曲线 关于直线 对称
B.
C.
D. 记 的最小值为 ,则
三、填空题:
12. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 _____；
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作直线 垂直于双曲线的一条渐近线,直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点,若 , 则双曲线 的离心率 为_____；
14. 已知 盒中装有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球, 盒中装有大小相同的 3 个红球,从 盒中随机取一个球，若是红球，则放回 盒；若是黑球，则从 盒中取一红球与其替换，
这样称为 1 次操作,重复以上操作,直到 盒中 6 个球全是红球为止.记 次重复操作后, 盒中 6 个球恰好全是红球的概率为 ,则 _____.
四、解答题:
15. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. 如图，多边形 是由一个等腰三角形 和一个菱形 组成的，其中 . 现将 沿 相于，点 翻折到点 的位置，得到四棱锥 ，如图(2)所示.
(2)
(1)求证: .
(2)如图(2)，若二面角 的大小为120°，点 为 的重心，点 在线段 上，且 .
(1)
(i) 求证: 平面 ;
(ii) 求平面 与平面 夹角的正弦值.
17. 国民体质是国家和社会发展的重要基础. 为贯彻落实《保健康中国 2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025 年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展。《国民体质测定标准 (2023 年修订)》 将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级. 某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了 200 人进行问卷调查, 得到如下列联表:
体质情况组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动 80 150
不爱好运动 C 10
合计 200
(1)求 ， 的值，并依据小概率值 的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； (2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法, 从样本中抽取 6 人作进一步调查, 再从这 6 人中随机抽取 2 人线下访谈, 记这 2 人中“爱好运动”的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
附: ，其中 .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
18. 已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ， ，求 的取值范围；
(3)证明: .
19. 平面解析几何中,点 绕原点逆时针旋转 角后得到点 ,满足:
,可将含 交叉项的二次曲线方程化为标准形式,已知椭圆
,取旋转角 .
(1)利用上述坐标变换公式，将其转化为不含 项的标准椭圆方程；
(2)设旋转后的椭圆方程为 ，求 ， 的值，并求该椭圆的离心率；
(3)利用椭圆标准方程的面积公式，求原椭圆 的面积，并说明旋转变换是否改变椭圆的面积.
2027 届高二下学期期中考试模拟试卷(四)答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A D D A D D B AB BCD ACD
3. 问题等价于从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任取 4 个不同的数 , 求事件“存在 ,使得 ”的概率,
不妨设 ,考虑对立事件“不存在 ,
使得 ” ，则有 ，
在1,2,3,4,5,6,7中任取 4 个不同的数,
从小到大依次表示 ,此时有 种不符合题意的取法,
则有 种符合题意的取法,
所以事件“存在 ,使得 ”的概率为 .
6. 依题意,可知函数 为奇函数,满足 .
因 ;
,则 ,
由
，因 不恒为 0，故得 ，即 .
7. 总的分配方法有 种.
若按照 分堆,甲、乙在一起的情况有 种;
若按照 分堆,甲、乙在一起的情况有 种:
若按照 分堆,甲、乙在一起的情况有 种,故不同的分配方法数为 . 故选 D.
8. 先移项 ,因为 ,所以 ,
构造函数令 ,所以 在定义域内单调递增,
所以对于任意一个函数值 ,都有唯一一个 对应,
所以 ,
令 ,令 ,
当 在区间内单调递减,当 在区间
内单调递增,最后求端点值确定函数值域, ,
因为 ,所以 ,
条件为有解,即函数 与 有交点,所以 .
10. 由双曲线方程可得: ， ，实半轴长 ，虚半轴长 ；圆 的圆心为 ,半径 ;
对于 ,
由双曲线定义知 , ; 即 ,解得: , A 错误;
对于 ,由双曲线定义知 ,
(当且仅当 在线段 上时取等号), 的最小值为 3, B 正确;
对于 ,四边形 的面积 ,
为双曲线 右支上的一点,可设 ,
; ;
,
即四边形 面积的最小值为 ，C 正确；
对于 ,
，由 C 知: , ,
由对勾函数单调性可知: (当且仅当 时取等号),
的最小值为 正确.
11. A 选项: 由已知
,
令 ,则 ,
当 时, ,即曲线 关于直线 对称, 选项正确;
B 选项:
,
所以由 ,得 选项错误;
C 选项: 当 时,
,
又 恒成立,即 ,且 ,
则 , C 选项正确:
D 选项: 时, 的最小值为 ,
时,设 ,则 ,
则 ,
又 ,易知函数 在 上单调递减,
且当 时, ,
即当 时, ,即 ;
当 时, ,即 ;
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 ,即 ,
时也符合上式,所以 ,
令 ,
所以 在 上单调递减,且 ,
所以 ,所以 , D 选项正确.
14. 解: 若 4 次重复操作后, 盒中 6 个球全是红球,则 1 次抽到红球,3 次抽到黑球,包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况，
所以 ,
若 5 次重复操作后， 盒中 6 个球全是红球，则 2 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
所以
+ × × × × + × × × × × = ，所以 = .
15. 解: (1) 由 ,当 时, ,
则 ,即 ,
所以 ,即 ,
由数列 为正项数列,所以 ,从而有 ,
所以数列 是以 为首项,1为公差的等差数列,所以 .
(2)由(1)知 ，所以 ，
,则 ,
即
即
所以 .
16.(1)如图，取 的中点 ，连接 ，
因为 为等腰三角形，点 为 的中点，所以 ，因为四边形 为菱形， 所以 ，所以 ，因为四边形_ 为菱形， ，所以 为等边. 三角形，所以 ，进而 ，
又 平面 ,所以 平面 ,又 平面 , 所以 ,即 .
(2)(i)如图，以 为原点， 以及垂直于平面 的直线分别为 轴,建立空间直角坐标系, 因为 ,二面角 的大小为 120°，所以 ，则 ， ， 所以 ,设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,则 ,所以 ,
所以 ,又 平面 ,所以 平面 .
(ii) 由 (i), 设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,所以 ,
所以 ,
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
17. 解: (1) 由表中数据可得 ,表格完善如下:
体质情况组别 合格 良好及以上 合计
爱好运动 80 70 150
不爱好运动 40 10 50
合计 120 80 200
设 : 体质情况与爱好运动无关,
则 ,
根据依据小概率值 的独立性检验,否定 ,故体质情况与爱好运动有关.
(2)易知 6 名体质情况“合格”对象中有 人爱好运动， 人不爱好运动,
故 的所有可能取值为 0,1,2,
即所求分布列为
0 1 2
2 5
所以 的期望 .
18. 解: (1) 当 时, ,则 ,所以 , 故当 时,曲线 在点 处的切线方程 .
( 2 )因为 ，则 ，则 且 ，
则 ,令 ,其中 ,则 , 易知函数 在 上单调递增,
① 当 时，即当 时，对任意的 ， ，
函数 在 上单调递增,则对任意的 ,
此时函数 在 上单调递增,故对任意的 ,符合题意:
② 当 时，即当 时，对任意的 ， ，
所以 在 上单调递减,则对任意的 ,
此时函数 在 上单调递减,故对任意的 ,不符合题意;
③ 当 时，因为函数 在 上单调递增，
且 ,则 ,
由零点存在定理可知,存在 ,使得 ,
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
故当 时, ,即函数 在 上单调递减,
所以 ,不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
(3)先证明 对任意的 恒成立，
构造函数 ,其中 ,则 ,
易知函数 在 上单调递减，所以 ，
所以函数 在 上单调递增,所以 ,
故对任意的 ,令 ,则 ,
故 ,
所以 ,
故原不等式得证.
19. 解: (1) 因为旋转角 ,则 ,坐标变换公式: ,
可得 ,
代入椭圆方程 得
即 ,所以椭圆方程为 .
(2)由(1)可知旋转后的标准方程为 ，
则 ,可得 ,
所以椭圆的离心率 .
(3)因为椭圆面积公式为 ，由(2)可知: ，
则旋转后椭圆的面积为 ,
且旋转变换不改变图形形状,所以椭圆面积不变,可知原椭圆 的面积为 .

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