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沪科版·八年级数学下册
19.3 矩形、菱形、正方形
1. 矩形
矩形的性质
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矩形是常见的图形，门窗框、皮箱、地砖等都有矩形的形象. 你还能举出一些例子吗？
当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形.
________________的平行四边形是矩形.
矩形的定义：
有一个角是直角
矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.
1
对边平行且相等
2
对角相等
3
对角线互相平分
画一个矩形,度量它的四条边长、两条对角线长以及四个角的度数,你能从中得出矩形特殊的性质吗 它是否具有一般平行四边形不具有的一些性质呢？
观 察
猜想1：矩形的四个角都是______．
直角
猜想2：矩形的对角线______．
相等
性质1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，矩形ABCD.
求证：∠A =∠B =∠C =∠D = 90°.
A
B
C
D
证明 由定义知矩形必有一个角是直角，不妨设∠A = 90°.
∵ AB // DC，AD // BC，
∴∠A+∠D=180°，∠D+∠C=180°.
（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠B =∠C =∠D = 90°.
因此，矩形 ABCD 的四个角
都是直角.
A
B
C
D
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC = BD， 即矩形的对角线相等.
性质2：矩形的对角线相等
小结
矩形的性质：
（1）矩形的四个角都是______；
（2）矩形的对角线______.
直角
相等
矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等
C.对角互补 D.对角线互相平分
C
练习
已知：在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线.
求证: BO = AC.
A
B
C
O
A
B
C
O
证明 延长 BO 至 D，使OD = BO,，连结 AD，DC.
D
∵ AO = OC，BO = OD.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠ABC=90°.
∴□ABCD是矩形.
∴ AC = BD.
∴ BO = BD = AC.
矩形性质的推论
推论：直角三角形斜边上的中线等于_____________．
斜边的一半
A
B
C
O
　　 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠AOB = 120°，AD = 4 cm ．求矩形ABCD对角线的长．
D　
A 　
B 　
C 　
O 　
例 1
∴ AC 与 BD 相等且互相平分.
∴ OA = OB = OC = OD，
∵ ∠AOB = 120°.
解：∵四边形 ABCD 是矩形.
∴ ∠OAB = ∠OBA = = 30°.
在 Rt△ABD 中，有
BD = 2AD = 2×4 = 8（cm）.
随堂练习
1. 矩形的一内角平分线把矩形的一边分成 3 cm 和 5 cm 的两部分，则此矩形的周长为（ ）
A. 16 cm B. 22 cm
C. 26 cm D. 22 cm 或 26 cm
D
2. 矩形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O，AB = 5 cm，BC = 12 cm，则 △ABO 的周长等于________.
18 cm
3.已知矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=8 cm，∠AOB=60°，矩形ABCD相邻两边的长各为多少
解 ∵AC、BD是矩形ABCD的对角线
∴ OA = OB = OC
又 ∵∠AOB = 60°
∴ AB = OB = 4 cm
∵ AB2+BC2 = AC2
∴ BC= 4
A
B
C
D
O
4.已知直角三角形一直角边长为3 cm，斜边上的中线长2.5 cm，求另一直角边长.
解 ∵ 斜边上的中线为2.5cm，
∴ 斜边长为2.5×2=5cm，
由勾股定理得，
另一直角边为4cm.
5. 已知：如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，DF⊥AE 于 F，若 AE = BC. 求证：CE ＝ EF.
A
B
C
D
E
F
分析 CE，EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若 AF ＝ BE，则问题解决，而证明 AF ＝ BE，只要证明 △ABE ≌ △DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B =90°，且AD∥BC.
∴∠1=∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD = 90°.
∴∠B =∠AFD.又 AD = AE = BC，
∴△ABE ≌ △DFA（AAS）．
∴AF = BE．
∴AE-AF = BC-BE
∴EF = EC．
A
B
C
D
E
F
∠1
∠2
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形的性质
1
2
矩形性质推论
课堂小结
课后作业
1.从教材习题中选取.
2.完成练习册本课时的习题.

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