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沪科版·八年级数学下册
矩形的判定
新课导入
1.矩形是轴对称图形，它有___条对称轴.
2.矩形与一般平行四边形的区别与联系.
平行四边形 矩形
边
角
对角线
2
对边平行且相等
对边平行且相等
对角相等
四个角都是直角
互相平分
相等且互相平分
工人师傅在做门窗或矩形零件时，要确保图形是矩形. 你有什么办法帮工人师傅测一测吗？
推进新课
由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形. 除此之外，还有没有其他判定方法呢？
若平行四边形的对角线相等,则该平行四边形是否为矩形
思 考
已知：如图，在□ABCD 中，AC = BD.
求证：□ABCD 为矩形.
D
A
B
C
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD = BC，AD∥ BC
又 ∵ DC = CD，AC = BD，
∴ △ADC ≌ △BCD.
∴ ∠ADC = ∠BCD.
又∵ ∠ADC + ∠BCD = 180°，
∴ ∠ADC = ∠BCD = 90°.
∴ □ABCD为矩形.
D
A
B
C
矩形的判定定理 1：对角线_____的平行四边形是矩形.
相等
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 AC 的中点，直线 AE // BC，过点 D 作直线 EF // AB，分别交 AE，BC 于点 E，F.
求证：四边形 AECF 是矩形.
A
B
C
E
D
F
1
2
例 2
证明 ∵ AE // BC，
∴ ∠1 = ∠2.
在 △ADE 和 △CDF 中，
∵ ∠1 =∠2，∠ADE =∠CDF，AD = CD，
∴ △ADE ≌ △CDF.
∴四边形 AECF 是平行四边形.
由AE // BC， EF// AB,得四边形 ABFE 是平行四边形， ∴ EF = AB.
∵ AC = AB，∴ EF = AC.
∴四边形 AECF 是矩形.
A
B
C
E
D
F
1
2
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
思 考
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B = ∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
D
A
B
C
证明 ∵ ∠A =∠B = ∠C = 90°，
∴ ∠B + ∠C = 180°，∠A +∠B = 180°.
∴ AB // CD，AD // BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ ∠A=90°
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
例 3
矩形的判定定理 2：三个角是直角的_______是矩形.
四边形
随堂练习
1. 下列判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形. ( )
（2）四个角都相等的四边形是矩形. ( )
（3）对角线相等的四边形是矩形. ( )
（4）对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形. ( )
×
×
√
√
2.已知:在□ABCD中，点M是BC的中点，∠MAD=∠MDA. 求证: □ABCD是矩形.
证明：∵∠MAD=∠MDA
∴MD=MA
又∵MB=MC，AB=DC
∴△ABM≌△DCM
∴∠MAB=∠MDC
∴∠ADC=∠MDA+∠MDC
∠DAB=∠MAD+∠MAB
即∠ADC=∠DAB
D
A
B
C
M
2.已知:在□ABCD中，点M是BC的中点，∠MAD=∠MDA. 求证: □ABCD是矩形.
∵∠ADC+∠DAB=180°
∴∠ADC=∠DAB=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
且∠ADC=90°
∴□ABCD是矩形
D
A
B
C
M
3.如图，□ABCD的对角线AC与BD交于点О，若M，N是BD上的两点，且BM=DN，AC=2MO，连接AM，AN，CM，CN. 求证: 四边形 AMCN 是矩形.
∵ □ABCD的对角线AC与BD交于点О，
∴ OB=OD，OA=OC，
又∵BM=DN，
∴ OB-BM =OD-DN，即OM=ON，
∴ 四边形AMCN是平行四边形.
∵ OM=ON，∴ MN = OM+ON = 2OM
又∵AC=2MO
∴ AC=MN
∴ 四边形AMCN是矩形.
4. 如图，将平行四边形 ABCD 的边 DC 延长至点 E，使 CE = DC，连接 AE，交 BC 于点 F.
（1）求证：△ABF ≌ △ECF；
（2）连接 AC、BE，则当∠AFC 与∠D 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？请说明理由.
（1）证明：在平行四边形 ABCD 中，AB∥ CD，AB = CD,
∴ ∠ ABF =∠ ECF,
又∵ CE = CD,
∴ AB = CE，在△ABF 和△ECF 中，
∴ △ABF ≌ △ECF (AAS)
∠ABF = ∠ECF
∠AFB = ∠EFC
AB = CE
（2）解：当∠AFC = 2∠D 时，四边形ABEC是矩形.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BC∥ AD，∠BCE=∠D,
由题意易得 AB∥ EC，AB = EC,
∴四边形 ABEC 是平行四边形.
∵∠AFC =∠FEC +∠BCE,
∴当∠AFC = 2∠D 时，则有∠FEC =∠FCE,
∴FC = FE,
∴四边形 ABEC 是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定方法：
课堂小结
课后作业
1.从教材习题中选取.
2.完成练习册本课时的习题.

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