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沪科版·八年级数学下册
3. 正方形
新课导入
正方形是我们所熟悉的图形，如魔方的一个面.
正方形
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
平行四边形
一个角是直角
矩形
平行四边形
一组邻边相等
菱形
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
推进新课
正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是特殊的菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有 4 条对称轴.
性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
正方形的性质
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.
尝试证明
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：在四边形ABCD 中，
∵ 正方形是矩形，
∴ AO=BO=CO=DO.
又 ∵ 正方形是菱形，
∴ AC⊥BD.
尝试证明
与同学讨论一下，四边形可以怎样进行分类？
四边形
思 考
梯形
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形与 矩形，菱形，平行四边形的关系.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等且有一个角是直角
正方形的判定
如何判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
已知：如图，点 A′，B′，C′，D′ 分别是正方形ABCD四条边上的点，并且 AA′ = BB′ = CC′ = DD′.
求证：四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
例 6
证明 ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA，
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
又 ∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，
∴ D′A＝A′B ＝ B′C ＝ C′D.
∴ Rt△AA′D′ ≌ △BB′A′
∴ D′A′ ＝A′B′，∠1=∠3.
同理：A′B′=B′C′， B′C′=C′D′， C′D′=D′A′.
∴ A′B′=B′C′=C′D′=D′A′.
∴ 四边形 A′B′C′D′ 是菱形.
∵ ∠1＝∠3，∠1＋∠2＝ 90°，
∴ ∠2＋∠3＝ 90°，
∴ ∠D′A′B′＝ 90°.
∴ 四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O.
求证：△ABO，△BCO，
△CDO，△DAO 是全等的等腰
直角三角形.
练习
证明：∵ 四边形ABCD是正方形。
∴AC＝BD，AC⊥BD，
OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO，
△DAO都是等腰直角三角形，
并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等
D. 每一条对角线平分一组对角
C
随堂演练
2.判定满足下列条件的四边形是不是正方形，并说明理由.
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（ ）
（2）对角线互相垂直的矩形.（ ）
（3）对角线相等的菱形.（ ）
（4）对角线互相垂直且相等的四边形.
（ ）
是
是
是
不是
3. 2002 年 8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标中的图案如图所示，其中四边形 ABCD和四边形 EFGH 都是正方形，点 E 在 AF 上，点 H在 DE 上. 求证: △ABF≌△DAE.
证明：∵四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠EFG=90°
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAE=90°
∴∠ABF=∠DAE
∴△ABF≌△DAE
4.如图所示，E 是正方形 ABCD 边 BC 上任意一点，EF⊥BO 于 F，EG⊥CO 于 G，若 AB = 10 厘米，则四边形 EGOF 的周长是_____厘米.
5.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，DE⊥AG 于点 E，BF∥ DE，交 AG 于点 F，求证：AF - BF = EF.
证明：∵∠BAF +∠DAE = 90°，
又∵DE⊥AG，BF∥ DE，∴BF⊥AG，∴∠BAF+∠ABF = 90°，
∴∠ABF =∠DAE.
又∵AB = DA，∠AFB =∠DEA = 90°,
∴△ABF ≌ △DAE，
∴BF = AE，∴AF - BF = AF - AE = EF.
课堂小结
正方形的性质
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形　
课后作业
1.从教材习题中选取.
2.完成练习册本课时的习题.

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