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第19章 四边形
复习题
沪科版·八年级下册
【教材P111复习题A组T1】
1.填空:
(1)一个多边形的外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数是_______；
(2)一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的边数是_____，它的每个外角的度数是_______.
9
4
90°
【教材P111复习题A组T2】
2.四边形的内角可能都是锐角吗 可能都是直角吗 可能都是钝角吗
四边形的内角不可能都是锐角，可能都是直角，不可能都是钝角。
根据四边形内角和定理，四边形的内角和为360°.假设四边形的内角都是锐角，因为锐角是小于90°的角，那么四个锐角的和一定小于90°×4=360°，这与四边形内角和是360°矛盾，所以四边形的内角不可能都是锐角。
若四边形的内角都是直角，直角等于90°，四个直角的和为90°×4 =360°，这与四边形内角和定理相符，所以四边形的内角可能都是直角，比如长方形和正方形。
假设四边形的内角都是钝角，由于钝角是大于90°的角，那么四个钝角的和一定大于90°×4=360°，这与四边形内角和是360°矛盾，所以四边形的内角不可能都是钝角。
【教材P111复习题A组T3】
3.如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去∠BCD后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 470°.求∠BGD的度数.
解：六边形ABCDEF的内角和:
(6－2) × 180° =720°
又∵∠1＋∠2+∠3+∠4+∠5=470°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°-470°=250°.
∵四边形BCDG的内角和为360°，
∴∠BGD=360°-(∠GBC+∠C+∠CDG)=360°-250°=110°.
4.已知: 如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AE = CF，点 M，N 是 ED，BF 的中点.
求证: 四边形 MFNE 是平行四边形.
【教材P111复习题A组T4】
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，∠A=∠C.
∴ △ADE≌△CBF，∴ ∠AED=∠CFB，DE=BF.
∵ 四边形是平行四边形，∴ AB∥ DC，∴ ∠CFB=∠ABF，
∴ ∠AED=∠ABF，即ME∥ FN.
又∵ M、N分别是ED、BF的中点，且DE=BF，
∴ ME=FN，∴ 四边形MFNE是平行四边形.
【教材P112复习题A组T5】
5.将一张相邻两边长为 40 cm 和 20 cm 的矩形纸片剪成相邻两边长为 18 cm 和 12 cm 的矩形纸片，最多能剪几个 并画出示意图.
3个
【教材P112复习题A组T6】
6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点 D 是AC的中点，连接BD. AE，BE交于点E，且AE∥ BD，BE//AD，试猜想四边形AEBD的形状.并说明理由.
解:∵AE∥ BD，BE∥ AD，
∴四边形AEBD是平行四边形.
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴BD= AC=AD. 又∵四边形AEBD是平行四边形，且一组邻边AD与BD相等，
∴四边形AEBD是菱形.
四边形AEBD是菱形.
【教材P112复习题A组T7】
7.如图，将两个全等的等腰三角形纸片拼成一个平行四边形，能拼出几种不同的平行四边形 画出示意图.这些平行四边形中有菱形吗 如果有，请说明理由.
能拼出2种不同的平行四边形；这些平行四边形中有菱形，理由是:以等腰三角形的腰为公共边拼接时，得到的平行四边形的四条边都等于等腰三角形的腰长，符合菱形的定义。
【教材P112复习题A组T8】
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥ AC，且DE= AC，连接AE，CE.
(1)求证:四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的面积为2，求△AEC的面积.
(1) ∵四边形ABCD是菱形，
∴ CO= AC，∠COD=90°.
又∵ DE∥ AC，且DE= AC，∴DE=CO.
∴四边形 OCED 是平行四边形.
又∵ ∠COD=90°，
∴ 四边形OCED为矩形.
【教材P112复习题A组T8】
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥ AC，且DE= AC，连接AE，CE.
(1)求证:四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的面积为2，求△AEC的面积.
(2)∵S菱形ABCD= BD·AC，且BD=2DO，
∴S菱形ABCD = ×2DO×AC=DO×AC=2.
∵四边形OCED为矩形，∴DO=EC，∠ACE=90°.
∵S△AEC = ×EC×AC，将 DO = EC 代入可得
S△AEC = ×DO×AC.
又∵DO×AC=2，∴S△AEC= ×2 = 1.
【教材P112复习题A组T9】
9.某地有四个村庄A，B，C，D，它们正好位于一个正方形的四个顶点. 现在四个村庄计划联合架设一条电话线路，他们设计了 4 种架设方案，如图中的实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.
解：设正方形的边长为a.
方案(1) :l1=AD+AB+BC=3a.
方案(2) : l2=AB+BD+DC=
方案(3) : l3=AC+BD=
方案(4): l4=AE+DE+EF+BF+BC=
比较l1， l2， l3， l4的大小，可得 l4【教材P113复习题A组T10】
10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且 BE = CF. AE，BF 交于点G. 求∠AGF 的度数.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB =BC，∠ABE=∠BCF=90°.又∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF.∴∠BAE=∠FBC.
∵ ∠FBC+∠ABG=90°，∴∠BAE+∠ABG=90°.
在△ABG中，∠AGB=180°-(∠BAE+∠ABG)=180°-90°= 90°.又∵∠AGF与∠AGB互补，
∴∠AGF =90°.
【教材P113复习题A组T11】
解：∵DE∥ AB，DF∥ AC，
∴四边形AFDE是平行四边形.
∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD.
又∵DE∥ AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE
∴四边形AFDE是菱形. ∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形.
11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点D，DE∥ AB交 AC 于点E，DF∥ AC交 AB 于点 F . 若 AD=3 ，求四边形AFDE的面积.
∵四边形AFDE是正方形，AD是其对角线，
且AD = .
设正方形的边长为a，则对角线长= ，
，
∴ S正方形AFDE =
【教材P113复习题A组T11】
11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点D，DE∥ AB交 AC 于点E，DF∥ AC交 AB 于点 F . 若 AD=3 ，求四边形AFDE的面积.
【教材P113复习题B组T1】
1.一个多边形的内角中，最多有几个锐角 为什么
最多有3个锐角.
理由是多边形外角和为360°，外角中最多3个钝角，而内角与相邻外角互为邻补角，外角为钝角时内角为锐角，所以内角中最多有3个锐角.
【教材P113复习题B组T2】
2.已知:如图，□ABCD的顶点 D 在□AEFG的边FG上，□AEFG 的顶点 E 在□ABCD的边 BC 上.
求证: □ABCD 和□AEFG 的面积相等.
证明: 连接DE，过D作DM⊥AE于M，过E作EN⊥AD于N.
∵S△ADE= S□AEFG ，S△ADE= S□ABCD
∴S□ ABCD=S□ AEFG.
M
N
【教材P113复习题B组T3】
3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 .
求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. 如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗
当点 O 在矩形ABCD内部时:
过点 O 作 EF⊥BC ，垂足为 E，交 AD 于点F.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AD∥ BC，则四边形ABEF和四边形CDFE都是矩形.
∴ AF = BE，FD = CE.
∵ OA2 = AF2+OF2，OC2 = CE2+OE2.
A
B
D
C
O
E
F
【教材P113复习题B组T3】
3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 .
求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. 如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗
∴OA2+OC2= AF2+OF2+CE2+OE2.
又∵OB2=BE2+OE2，OD2=FD2+OF2
∴OB2+OD2= BE2+OE2+FD2+OF2 .
∴OA2+OC2=OB2+OD2。
A
B
D
C
O
E
F
【教材P113复习题B组T3】
当点O在矩形ABCD外部时:
过点O作OE⊥BC，垂足为E，交AD的延长线于点F.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥ BC，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∴四边形ABEF和四边形CDFE都是矩形.
∴AF=BE，FD=CE.
在Rt△AOF中，OA2=AF2+OF2.
在Rt△OEC中，OC2=CE2+OE2.
A
B
D
C
O
E
F
3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 .
求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. 如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗
【教材P113复习题B组T3】
∴OA2+OC2=AF2+OF2+CE2+OE2.
在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2.
在Rt△DOF中，OD2=FD2+OF2
∴OB2+OD2= BE2+OE2+FD2+OF2.
∴OA2＋OC2=OB2+OD2.
综上，当点O是矩形ABCD内任一点时，OA2＋OC2=OB2＋OD2成立；当点O在矩形ABCD的外部时，结论也成立.
A
B
D
C
O
E
F
3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 .
求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. 如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗
【教材P114复习题B组T4】
4.如图，在□ABCD中，点 O 是 AD 的中点，连接BO并延长，交 CD 的延长线于点E，连接BD，AE.
(1)求证: 四边形 ABDE 是平行四边形；
(2)若BD=CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由.
【教材P114复习题B组T4】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥ CD，∴∠ABO=∠DEO.
又∵点O是AD的中点，∴AO=DO.
又∵∠AOB=∠DOE，∴△ABO≌△DEO.
∴OB=OE.
∵四边形 ABDE 的对角线 AD 与 BE 互相平分，
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
【教材P114复习题B组T4】
四边形ABDE是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD.
又∵BD=CD，∴AB=BD.
又∵在(1)已证四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE是菱形.
【教材P114复习题B组T5】
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥ AC，AE∥ BD. 若AB=10，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.
∵DE∥ AC，AE∥ BD，
∴四边形AODE是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°.
∴四边形AODE是矩形.
∴S四边形AODE=OA×OD= .
【教材P114复习题B组T5】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=10，∠BAD=∠BCD=120°. ∴∠BAO= ∠BAD=60°.
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，
∠ABO=180°-90°-60°=30°.
∴AO= AB= ×10=5.
∴BO=
∴OD=OB= .
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥ AC，AE∥ BD. 若AB=10，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.
【教材P114复习题B组T6】
6.实践操作:
第一步: 如图(1)，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平.
第二步:如图(2)，将图(1)中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平.
【教材P114复习题B组T6】
问题解决:
(1)如图(1)，四边形AEA'D的形状是________；
(2)如图(2)，线段MC'与ME是否相等 若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由.
正方形
(2)MC'=ME.证明如下:
连接C'E.∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠EAC'=∠B=90°.
由折叠知，B'C'=BC，∠B'=∠B，
∴ AE=B'C'，∠EAC' = ∠B
∴ Rt△EC'A≌Rt△C'EB'.
∴ ∠C'EA=∠EC'B'，∴ MC'=ME.
【教材P114复习题B组T7】
7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PO，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为ts.
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t=6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由
(3)当以PQ为对角线的正方形面积为96时，直接写出此时t的值.
【教材P114复习题B组T7】
(1)在矩形ABCD中，
AB=8，BC=16，
∴BC=AD=16，AB=CD=8.
由题意可知，BQ=DP=t，
∴AP=CQ=16-t.
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥ BC.
当 BQ = AP 时，四边形ABQP为矩形，
即 t = 16-t，∴ t = 8.
∴当t=8时，四边形ABQP是矩形.
【教材P114复习题B组T7】
(2)当t=6时，BQ=6，DP=6.
∴CQ=16-6=10，AP=16-6=10.
∵AP=CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形.
在Rt△ABQ中，
AQ=
∴AQ=CQ，∴平行四边形AQCP为菱形。
【教材P115复习题B组T8】
8.如图，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF，HF，AH.
(1)求证:AK=AH；
(2)求证:四边形AKFH是正方形；
(3)若四边形AKFH的面积为10，CE=1，求AE的长.
【教材P115复习题B组T8】
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADH=90°.
又∵DH=BK，
∴△ADH≌△ABK.
∴AK=AH.
【教材P115复习题B组T8】
(2)∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD=∠BAK. ∵∠BAD=90°，∴∠BAK+∠DAK=90°，∴∠HAD+∠DAK=90°，即∠HAK =90°. ∵DH=CE=BK，且HG=DH＋DG，
EK=EC+CK，又DG=CK，∴HG=EK，
∵ AD=AB=BC=CD，EF=CE=CG=GF.
∴△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH.
∴AH=AK =HF=FK.
∴四边形AKFH是正方形.
【教材P115复习题B组T8】
(3)∵四边形AKFH是正方形且面积为10，
∴ S = KF2 = 10， ∴KF = .
在Rt△EFK中，EF=CE=1，
.
∵AB=BC，KE=BC，∴AB=KE=3.
又∵BK=EF=1，∴BE=BK+KE=1＋3 =4.
在Rt△ABE中，AB=3 ， BE=4，
∴
【教材P115复习题C组T1】
1.设四边形ABCD的每一个顶点到其他三个顶点的距离之和都相等.这个四边形是什么四边形 请说明理由.
这个四边形是矩形，理由如下：
由题意得:
AB+AC+AD=BA+BD+BC=CA+CD+CB=DA+DB+DC.
由AB+AC+AD=BA+BD+BC可得:AC+AD=BD+BC①；
由AB+AC+AD=CA+CD+CB可得:AB+AD=CD+CB②；
由AB+AC+AD=DA+DB+DC可得:AB+AC=DB+DC③.
A
B
D
C
【教材P115复习题C组T1】
由①-②可得: AC-AB=BD-CD④；
③+④可得: 2AC=2BD，即AC=BD.
将AC = BD代入①可得: AD = BC；
将AC = BD代入③可得: AB = CD.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
又 ∵ 平行四边形ABCD中AC=BD(对角线相等)，
∴ 这个四边形是矩形.
A
B
D
C
【教材P115复习题C组T2】
2. (1)求证:在□ABCD中，AC2+BD2= 2(AB2+BC2)；
证明：过点D作DE⊥AB于点E，
过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥ DC，AB = DC，AD = BC.
∵AB ∥ DC，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE=CF (平行线间的距离相等）.
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
∠AED = ∠BFC = 90°，AD = BC，DE=CF， ∴ Rt△ADE≌Rt△BCF，∴ AE=BF.
D
C
A
B
E
F
【教材P115复习题C组T2】
2. (1)求证:在□ABCD中，AC2+BD2= 2(AB2+BC2)；
在Rt△ACF中，AC2=AF2+CF2，
∵AF=AB+BF，
∴AC2=(AB+BF) 2+CF2=AB2+2AB·BF＋BF2+CF2.
在Rt△BDE中，BD2 = BE2+DE2，
∵ BE=AB-AE，AE=BF，
∴ BD2=(AB-BF) 2+CF2=AB2-2AB·BF+BF2 +CF2.
D
C
A
B
E
F
【教材P115复习题C组T2】
2. (1)求证:在□ABCD中，AC2+BD2= 2(AB2+BC2)；
∴AC2+BD2=(AB2+2AB·BF+BF2+CF2)+(AB2 -2AB·BF+BF2+CF2)=2AB2+2BF2+2CF2.
在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，
又∵ AB = CD，AD = BC
∴ AC2+BD2 = 2AB2+2BC2，
即 AC2+BD2 = 2(AB2+BC2)。
D
C
A
B
E
F
【教材P115复习题C组T2】
2. (2)已知△ABC的三边长分别为BC=a，AB=c，AC=b、求BC边上的中线长(用a，b，c的代数式表示).
A
B
C
a
c
b
D
E
解：设BC边上的中线为AD，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE、CE.
∵BD=DC，AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AE2+BC2=2(AB2+AC2)((1)的结论).
设中线AD=m，则AE=2m，
则(2m)2+a2=2(c2+b2)，即4m2+a2=2c2+2b2，m= . ∴BC边上的中线长为
【教材P115复习题C组T3】
3.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为
(-1，0)，(2，5)，(3，0). 若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标.
解：设点D的坐标为(x，y)，根据平行四边形的对角线互相平分，即对角线的中点坐标相同，分以下三种情况讨论:
当AC为对角线时: AC中点坐标为( )= (1,0)，
此点也为BD中点.根据中点坐标公式可得
∴ x = 0，y = - 5. 此时D点坐标为(0，- 5)。
【教材P115复习题C组T3】
当AB为对角线时:AB中点坐标为( )=( )，
此点也为CD中点.
∴ ∴ x=-2，y=5. 此时D点坐标为(-2，5) .
当BC为对角线时: BC中点坐标为( )=( )，
此点也为 AD 中点.
∴ ∴ x=6，y=5. 此时 D 点坐标为(6,5).
综上，点 D 的坐标为 (0，-5) 或 (-2，5) 或 (6，5).
【教材P116复习题C组T4】
4.如图，安全村有一口四边形的池塘，在它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村委会准备扩建池塘，要想使建成后的池塘面积为原来池塘面积的2倍，但不能移动大树，并要求扩建成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想 若能，请你写出方案并画出图形；若不能，请说明理由.
【教材P116复习题C组T4】
E
F
G
H
O
解:连接四边形ABCD的两条对角线AC与BD.
过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线；过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线.上述四条平行线两两相交，分别得到交点E(A点平行线与B点平行线的交点)、
F(B点平行线与C点平行线的交点)、
G(C点平行线与D点平行线的交点)、
H (D点平行线与A点平行线的交点)，
则四边形EFGH为平行四边形.
【教材P116复习题C组T4】
∵EF∥ AC∥ GH，EH∥ BD∥ FG，
∴四边形AEBO、BFCO、CGDO、DHAO均
为平行四边形.
S□AEBO=2S△AOB
同理S□BFCO=2S△BOC.
S□CGDO=2S△COD. S□DHAO=2S△DOA.
∴ S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA.
S□EFGH=S□AEBO+S□BFCO+S□CGDO+ S□DHAO
=2(S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA)=2S四边形ABCD
E
F
G
H
O
即面积为原池塘的2倍.
【教材P116复习题C组T5】
5.如图，在□ ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM.
(1)求证: 四边形CDMN为菱形；
(2)过点 C 作CE⊥MN于点E，交DN于点F，若FC=2， ∠MDN=∠NCE，求四边形 CDMN 的面积；
(3)若点 Р 在直线 DN 上，AN=4，DN=6，求△PBM周长的最小值.
【教材P116复习题C组T5】
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥ BC，AD=BC.
又∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD= AD，NC= BC，
则MD = NC且MD∥ NC，
∴四边形CDMN是平行四边形.
∵∠AND=90°，M是AD中点，
在Rt△AND中，MN为斜边AD的中线， ∴MN=MD= AD.
∴四边形CDMN为菱形.
【教材P116复习题C组T5】
(2)设∠MDN=α，∵四边形CDMN是菱形，∴MD=MN=CD=CN，MN∥ CD， MD∥ NC ，
∴∠MDN=∠DNM= ∠DNC =α.
由∠MDN=∠NCE=α，CE⊥MN，
可得∠CEN=90°；
∴ ∠DNM=∠DNC =∠NCE = 30°，∠MNC = 60°.
∴ FN = FC = 2，FO = FC = 1，NO = FN + FO = 3；
∴ ND = 2 NO = 6.
o
【教材P116复习题C组T5】
在Rt△FCO中，OC = FO = ，
MC = 2 OC = 2 .
∴ 菱形CDMN 的面积为
MN×CE= ND× MC
= ×6×2
=
o
【教材P116复习题C组T5】
(3)建立平面直角坐标系，设N(0，0)，
D(-6，0)，A(0，4)，
∵ M 为 AD 中点，∴ M 的坐标为 (-3，2).
由平行四边形性质及N是BC中点，
可得 B(3，2)，直线DN即为 x 轴.
△PBM 的周长为 PB+PM+BM，
其中 BM = = 6为定值，
∴需要使 PB+PM 最小.
【教材P116复习题C组T5】
作 M 关于 x 轴的对称点 M'(-3 , -2)，
则PM = PM'，PB+PM = PB+PM' ≥ BM'.
BM' = ，
即 PB+PM 的最小值为 .
∴ △PBM 周长的最小值为 .

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