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沪科版·八年级数学下册
章末复习
复习导入
四边形及特殊四边形的关系
四边形
梯形
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
平行四
边形 　
矩形 　
菱形 　
正方形　
四边形
a
b
c
d
e
a._________________；b.________________ ；
c._________________；d.________________ ；
e._________________.
两组对边分别平行
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
定义：________________的四边形是平行四边形.
两组对边分别平行
性质1 平行四边形的对边_____.
相等
性质2 平行四边形的对角_____.
相等
性质3 平行四边形的对角线__________.
互相平分
定理1 一组对边__________的四边形是平行四边形.
定理2 两组对边________的四边形是平行四边形.
定理3 对角线________的四边形是平行四边形．
分别平行
互相平分
平行且相等
判定定理
三角形的中位线
（1）连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
（2）定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
①三角形有___条中位线.
②三角形的三条中位线把原三角形分成全等的 4 个小三角形.每个小三角形的周长为原三角形周长的____.每个小三角形的面积为原三角形面积的____.
3
多边形内角和、外角和
（1）n 边形的内角和为___________ (n≥3)．
(n－2)·180°
（2）正多边形的每个内角都相等，都等于
_____________.
(n－2)·180°
n
（3）多边形的外角和为360°，它与边数的多少无关.
矩形
定义：_______________的平行四边形是矩形.
有一个角是直角
性质1 矩形的四个角都是直角．
性质2 矩形的两条对角线相等．
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形的判定
定理1 对角线相等的平行四边形是矩形.
定理2 三个角是直角的四边形是矩形.
菱形
定义：______________的平行四边形叫作菱形.
有一组邻边相等
性质1 菱形的四条边都_______.
性质2 菱形的对角线_________.
相等
互相垂直
定理1 四条边都相等的四边形是菱形.
定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定
正方形
定义：有一个角是_____，且有一组邻边____的平行四边形叫作正方形.
直角
相等
性质1 正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
性质2 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形的判定
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角为直角的菱形是正方形.
典例解析
例 1 如图，E、F 是平行四边形 ABCD 对角线BD 上的两点，给出下列三个条件：①BE = DF; ②∠AEB =∠DFC；③AF∥ EC. 请你从中选择一个适当的条件____，使四边形 AECF 是平行四边形，并证明你的结论.
①
A
B
C
D
E
F
证明：如图，连接 AC 交 BD 于 O.
∴ AO = CO，OB = OD.
又∵ BE = DF，∴ OB-BE = OD-DF，
∴ OE = OF.
又 ∵ AO = CO，
∴ 四边形 AECF 为平行四边形.
A
B
C
D
E
F
o
例 2 如图，点 E、F、G、H 分别为四边形ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论.
解：四边形 EFGH 为平行四边形.
如图，连接 AC，在 △ACD 中，H、G 分别为AD、CD 的中点，
∴HG∥ AC，HG = AC，
同理：EF∥ AC，EF = AC，
∴ HG∥ EF，HG = EF.
∴ 四边形 EFGH 为平行四边形.
例 3 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC = 8 cm，BD = 6 cm，DH⊥AB 于 H，求高 DH 的长.
解：∵四边形 ABCD 为菱形,
∴AO = AC = 4 cm，AC⊥BD，
∴在 Rt△AOB 中，
（cm）.
S△ABD = DH · AB= AO · BD
∴DH = （cm）.
例 4 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点O，点 O 是正方形 A′B′C′O 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形 A′B′C′O 绕点 O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一，你能说明理由吗？
解：∵∠BOF+∠A′OB = 90°，∠A′OB+∠AOE = 90°.
∴∠BOF =∠AOE. 又∵OA = OB，∠OAE = ∠OBF.
∴△AOE ≌ △BOF.
∴S△AOE = S△BOF .
∴S四边形EBFO = S△BOF + S△OEB
= S△AOE + S △OEB
= S正方形ABCD.
例 5 如图，△ABC 中，BD，CE 为高，F 是边 BC 的中点，判断 △DEF 的形状，并说明理由.
解：△DEF 为等腰三角形.
在 Rt△BEC 中，∵F 为 BC 的中点，
∴EF = BC.
同理：FD = BC.
∴FD = EF，
∴ △DEF为等腰三角形.
例 6 如图，在 △ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥ BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F.
（1）求证：OC = EF.
证明：∵ CE为∠BCA 的平分线，
∴ ∠BCE =∠ECO.
又 ∵ MN∥ BC，∠BCE =∠CEO.
∴ ∠CEO =∠ECO，∴ EO = OC.
同理：OC = OF，∴ OC = EF.
（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并证明你的结论.
解：当点 O 运动到 AC 的中点时，
四边形 AECF 是矩形.
∵由（1）可知，O 为 EF 的中点，
又∵O 为 AC 的中点.
∴四边形 AECF 为平行四边形.
又∵CE为∠BCA 的平分线，
CF为∠ACD 的平分线，∠ECF = 90°.
∴四边形 AECF 是矩形.
随堂练习
1.下列图形：矩形、菱形、等腰梯形、正方形中对称轴最多的是（ ）
A. 矩形 B. 菱形
C. 等腰梯形 D. 正方形
D
2. 如图，平行四边形 ABCD 中，∠A 的平分线 AE 交 CD 于 E，AB = 5，BC = 3，则 EC 的长是（ ）
A. 1 B. 2
C. 1.5 D. 3
B
D
A
B
C
E
3. 如图所示，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B. A，C 两点到直线 l 的距离分别为 5 和 12，
则正方形的边长是____.
13
4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，点 P 在 AD 上，PE⊥AC 于 E，PF⊥BD 于 F，
则 PE + PF =____.
课后作业
1.从教材习题中选取.
2.完成练习册本课时的习题.

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