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第19章 四边形
19.1 多边形
第1课时 多边形及其内角和
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
了解多边形的概念及相关要素.
探索并掌握多边形的内角和公式， 提升推理能力.
三角形
相关定义
分类
性质
判定
相关定义
分类
性质
判定
？
情境导入
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
推进新课
知识点一 多边形
如果一个多边形由 n 条边组成，那么这个多边形叫作 n 边形（n 为不小于 3 整数）.
……
三角形
四边形
五边形
六边形
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
n 边形
组成多边形的线段叫作多边形的____.
边
边
相邻两边的公共端点叫作多边形的_____.
顶点
顶点
外角
相邻两边组成的角叫作多边形的_______，简称多边形的_____.
内角
角
内角
在顶点处一边与邻边的延长线所组成的角叫作多边形的_______.
外角
观察、思考、归纳：
三角形有____条边，____个内角，_____个外角.
四边形有____条边，____个内角，_____个外角.
五边形有____条边，____个内角，_____个外角.
六边形有____条边，____个内角，_____个外角.
……
n 边形有____条边，____个内角，_____个外角.
3 3 6
4 4 8
5 5 10
6 6 12
n n 2n
多边形一般按边数和各个顶点的字母顺次排列来表示.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
四边形ABCD
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
C
D
A
B
四边形 ABCD 都在直线 CD 的同一侧，也都在直线 AB，BC，AD 的同一侧.
凸四边形
思考
这两个四边形有什么不同？
A
B
C
D
四边形 ABCD 不都在直线 AB（或 BC）的同一侧.
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同侧，这样的多边形就是凸多边形.
你会画凸多边形吗？
凸七边形
凸八边形
C
D
A
B
凸四边形
本书中所研究的都是凸多边形.
练一练
如图所示的图形中，属于多边形的有________.（填序号）
【教材P75练习 T1】
√
①
②
③
④
⑤
⑥
√
×
×
√
×
①②⑤
探究
知识点二 多边形的内角和
1. 四边形的内角和是多少度呢？
连接 AC 和 BD，你能发现什么？
D
A
B
C
四边形中连接不相邻的两个顶点的线段叫作四边形的对角线.
BD 将四边形分为 _______ 和 _______ .
AC 将四边形分为 _______ 和 _______ .
△ABD
△CBD
△ACD
△ACB
探究
1. 四边形的内角和是多少度呢？
（1）如图，连接 AC，能得到四边形 ABCD 的内角和吗？
四边形 ABCD 的内角和
= ________________________________
1
2
3
4
四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形.
四边形
三角形
转化
△ABC 的内角：
△ACD 的内角：
∠1、∠B、∠3
∠2、∠D、∠4
△ABC 的内角和 + △ACD 的内角和
A
B
C
D
= 180°+ 180°= 360°
探究
1. 四边形的内角和是多少度呢？
（2）如图，在四边形 ABCD 内任取一点 O，连接 OA，OB，OC，OD，也能得到四边形 ABCD 的内角和吗？
四边形 ABCD 的内角和
= ____________________________________
A
B
C
D
O
四边形ABCD 被分为四个三角形.
四边形
三角形
转化
4个三角形的内角和 – 以O为顶点的周角
= 4×180°– 360°= 360°
四边形的内角和等于 360°
探究
1. 四边形的内角和是多少度呢？
A
B
C
D
P
如图，在四边形 ABCD 的一条边（如 AB）上任取一点 P，连接 PC，PD，也能得到四边形 ABCD 的内角和.
四边形 ABCD 的内角和
= ____________________________________
3个三角形的内角和 – 以P为顶点的平角
= 3×180°– 180°= 360°
探究
2. 如图，能仿照上述方法得到五边形 ABCDE 的内角和吗？
A
B
C
D
E
3×180°= 540°
多边形中连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
探究多边形对角线的条数
名称 四边形 五边形 六边形 n 边形
图形
顶点个数
一个顶点引出的对角线条数
对角线条数
探究多边形对角线的条数
4
5
6
n
1
2
3
n – 3
2
5
9
n(n – 3)
2
探究
2. 如图，能仿照上述方法得到五边形 ABCDE 的内角和吗？
A
B
C
D
E
3×180°= 540°
A
B
C
D
E
5×180°– 360°
= 540°
A
B
C
D
E
4×180°– 180°
= 540°
五边形的内角和等于 540°
探究
3. 一般地， n 边形（n 为不小于 3 的整数）的内角和是多少度呢？
五边形
六边形
七边形
八边形
图形 边数 可分成三角形的个数 多边形的内角和
五边形 5
六边形 6
七边形 7
八边形 8
n 边形 n
3
(5 – 2)×180°
4
(6 – 2)×180°
5
(7 – 2)×180°
6
(8 – 2)×180°
n – 2
(n – 2)·180°
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n – 3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n – 2) 个三角形，n 边形的内角和等于 (n – 2)× 180°.
n 边形（n 为不小于 3 的整数）的内角和等于
(n – 2)·180°
定理
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
P
在 n 边形内任取一点 P，连接 PA1，PA2，···，PAn；
把 n 边形分成 n 个三角形，这 n 个三角形的内角和为 n · 180°；
再减去以 P 为顶点的一个周角的度数；
即得 n 边形的内角和为
n·180°– 360°= (n – 2)·180°
把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
P
在 n 边形的一边上任取一点 P，与各顶点 相连，得 (n – 1) 个三角形；
n 边形内角和等于这 (n – 1) 个三角形的内角和减去以 P 为顶点的一个平角的度数；
即得 n 边形的内角和为
(n – 1)·180°– 180°= (n – 2)·180°
练一练
（1）过四边形的一个顶点有________条对角线，四边形共有________条对角线；
（2）过五边形的一个顶点有________条对角线，五边形共有________条对角线；
（3）过 n 边形的一个顶点有________条对角线，n 边形共有________条对角线.
【教材P75练习 T3】
1
2
2
5
n – 3
n(n – 3)
2
例 1
如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C， ∠D 的度数之比为 11 : 10 : 5 : 10. 求四边形 ABCD 四个内角的度数.
解 设∠B =∠D = (10x)°.
由题意，得
则 ∠A = (11x)°，∠C = (5x)°.
B
C
A
D
11x + 10x + 5x + 10x = 360.
解得 x = 10.
故 ∠A，∠B，∠C， ∠D 的度数分别为 110°，100°，50°，100°.
练一练
若一个多边形的内角和等于 1260°，则这个多边形的边数是____.
【教材P75练习 T2】
解：设这个多边形的边数为 n，根据题意，得
(n – 2)·180°= 1260°.
解得 n = 9.
9
随堂练习
1. 已知一个多边形的内角和等于 2160°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为 n.
根据题意，得 (n – 2)·180°= 2160°.
解得 n = 14.
因此这个多边形的边数为 14.
2. 某学生在分别计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（ ）
A. 180° B. 540°
C. 1900° D. 1080°
C
3. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ______ .
360°
1
2
∠F + ∠C = ∠1 + ∠2
= ∠E +∠D +∠EAB +∠DBA
4. 已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1710°，求这个多边形的边数及这个内角的度数.
解：设多边形的边数为 n，则内角和为 (n – 2)·180°.
根据题意，得 1710°< (n – 2)·180°< 1710°+ 180°.
解得 11.5 < n < 12.5.
∵ n 为正整数. ∴ n = 12.
∴ 这个多边形的边数为 12.
∴ 这个内角的度数为 (12 – 2)×180° – 1710°= 90°.
课堂小结
n 边形（n 为不小于 3 的整数）的内角和等于
(n – 2)·180°
课后作业
完成练习册本课时的习题.

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