资源简介

(共29张PPT)
第19章 四边形
19.1 多边形
第2课时 多边形的外角和
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
探索并掌握多边形的外角和，提升推理能力.
认识正多边形，了解其内角与外角的关系.
3
了解四边形的不稳定性及其在生活中的一些应用．
复习导入
指出图中六边形的边、顶点、内角和一组外角，画出它的全部对角线.
边：AB，BC，CD，DE，EF，FA.
顶点：点A，点B，点C，点D，点E，点F.
内角：∠FAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，
∠DEF，∠EFA
A
B
C
D
E
F
对角线：AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF.
1
6
5
4
2
3
外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6
推进新课
知识点一 多边形的外角和
外角：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6
在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，把它们的和叫作多边形的_______.
外角和
A
B
C
D
E
F
1
6
5
4
2
3
多边形的外角和有怎样的规律？
活动一：探究四边形的外角和
A
B
C
D
1. 如图，画出四边形 ABCD 的外角，测量并计算四边形 ABCD 的外角和.
根据测量的结果，你有什么猜想？请证明你的猜想是否正确.
活动一：探究四边形的外角和
A
B
C
D
2. 利用四边形 ABCD 的内角和来求四边形 ABCD 的外角和.
分析：四边形 ABCD 的每一个外角都与同它相邻的内角互补，所以四边形 ABCD 的外角和与内角和的总和为 4×180°. 可以利用这个关系求出其外角和.
解：∵∠DAB 与∠1 是邻补角，
∴∠DAB + ∠1 = 180°.
同理∠ABC + ∠2 = 180°，
∠BCD + ∠3 = 180°，
∠CDA + ∠4 = 180°.
∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 720°.
而∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.
A
B
C
D
1
3
4
2
四边形的外角和等于 360°
活动一：探究四边形的外角和
活动二：探究五边形的外角和
按同样的方法分析，五边形的外角和等于______.
1
2
3
4
5
5 个外角与跟它相邻的内角之和加起来是__________.
5×180°
五边形的内角和是____________.
(5 – 2)×180°
五边形的外角和是
___________________________.
5×180°– (5 – 2)×180°
360°
活动三：探究 n 边形的外角和
n 边形(n 为不小于 3 的整数)的外角和等于______.
n 个外角与跟它相邻的内角之和加起来是__________.
n·180°
n 边形的内角和是____________.
(n – 2)·180°
n 边形的外角和是
________________________.
n·180°– (n – 2)·180°
360°
1
2
3
4
5
n
外角和为定值，与边数n没有关系
n 边形（n 为不小于 3 的整数）的外角和等于 360 °
定理
你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于 360°吗？
从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向.
在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.
由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°.
练一练
已知一个多边形的内角和比它的外角和大 540°，求这个多边形的边数.
【教材P77练习 T2】
解：设这个多边形的边数为 n.
根据题意，得 (n – 2)·180°– 360°= 540°.
解得 n = 7.
因此这个多边形的边数为 7.
知识点二 正多边形
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形.
它们的每个内角、外角分别是多少度，你会求吗？
这些图形有什么特点？
各条边都相等，各个内角都相等
正 n 边形的每一个内角：
正 n 边形的每一个外角：
多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫作正多边形.
例 2
求正六边形每个内角的度数.
解 正六边形的内角和为
所以每个内角的度数为
(6 – 2)×180°= 720°.
720°÷6 = 120°.
你能借助多边形的外角和解决这个问题吗？
正六边形的外角和为 360°.
所以每个外角的度数为
360°÷6 = 60°.
所以每个内角的度数为
180°– 60°= 120°.
练一练
1. 已知正多边形的一个外角是 45°，则这个正多边形是 ____ 边形.
【教材P77练习 T1】
360°÷n = 45°
解得 n = 8.
正八
练一练
2. 正多边形的每个内角可能是：（1）75°；（2）90°；（3）120°吗？说明理由.
【教材P77练习 T3】
解：设这个正多边形的边数为 n.
（1）根据题意，得 (n – 2)·180°= 75°·n.
即正多边形的每个内角不可能是 75°.
解得 ，不符合题意，舍去.
练一练
2. 正多边形的每个内角可能是：（1）75°；（2）90°；（3）120°吗？说明理由.
【教材P77练习 T3】
（2）根据题意，得 (n – 2)·180°= 90°·n.
即正多边形的每个内角可能是 90°，且这个正多边形为正方形.
解得 n = 4，符合题意.
练一练
2. 正多边形的每个内角可能是：（1）75°；（2）90°；（3）120°吗？说明理由.
【教材P77练习 T3】
（3）根据题意，得 (n – 2)·180°= 120°·n.
即正多边形的每个内角可能是 120°，且这个正多边形为正六边形.
解得 n = 6，符合题意.
知识点三 四边形的不稳定性
活动：探究四边形的不稳定性
如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
点击打开
形状不变
现象
原理
三角形具有稳定性
形成两个三角形
形状会发生改变
四条边确定后，四个角并不确定
四边形具有不稳定性
你能说一说它们的原理吗？
利用四边形的不稳定性：伸缩门、升降机.
克服四边形的不稳定性：在窗框上钉一根木条，
以防窗框变形.
练一练
下列图形中哪些具有稳定性？
√
√
1. 如图，在四边形 ABCD 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 320°，则∠D 的度数为（ ）
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
4
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
320°
∠4 = 360°– 320°= 40°
∠D = 180°– ∠4 = 180°– 40°= 140°
C
随堂练习
2. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框 ABCD，E，F，G，H 分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A. A，C 两点之间
B. E，G 两点之间
C. B，F 两点之间
D. G，H 两点之间
B
3. 如图，求图中 x 的值.
解：3x°+ 90°+ 90°= 360°
x = 60°
4. 多边形的所有内角与某一外角的度数总和为 1350°，那么这个多边形的边数是多少？
解：设边数为 n，外角为 x，则
x = 1350°– 180°·(n – 2)
∵ 0°< x < 180°，
∴ 0 < 1350°– (n – 2)·180°< 180°.
解得 8.5 < n < 9.5．
∵ n 为整数，∴n = 9．
∴ 这个多边形的边数是 9．
课堂小结
n 边形（n 为不小于 3 的整数）的外角和等于 360 °
定理
课后作业
阅读教材 P79 数学史话；
完成练习册本课时的习题.

展开更多......

收起↑