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19.2 平行四边形
1. 平行四边形的性质
平行四边形边、角的性质
沪科版·八年级下册
学习目标
1
2
理解平行四边形的概念.
探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质，发展学生的合情推理能力，培养学生主动探究的习惯.
3
利用平行四边形边、角的性质进行简单的计算和证明，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力
情境导入
在小学， 我们已经认识了平行四边形. 在图中找出平行四边形，并把它们勾画出来.
两组对边分别平行
只有一组对边平行
四边形
平行四边形
梯形
推进新课
知识点一 平行四边形
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形用符号“□ ”表示.
平行四边形 ABCD 记作□ ABCD，读作“平行四边形 ABCD”.
注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序.
由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行.
四边形 ABCD 是平行四边形
AB // DC
AD // BC
A
B
C
D
平行四边形的基本元素
边 邻边
对边 角 邻角 对角 对角线 AD和AB，DA和DC，CD和CB，BC和BA
AB 和 DC，AD 和 BC
∠BAD和∠ADC，∠ADC 和 ∠DCB，∠DCB 和∠ABC，∠BAD 和 ∠ABC
∠BAD 和 ∠BCD，∠ADC 和 ∠ABC
AC 和 BD
D
A
C
B
O
练一练
如图，点 D，E，F 分别在△ABC 的边 AB，BC，AC 上，且 DE // AC，DF // BC，EF // AB，则图中有哪些平行四边形？并说明这些四边形为什么是平行四边形.
【教材P82练习 T1】
D
A
C
B
F
E
□ BEFD
□ CFDE
□ ADEF
平行四边形满足两个条件
是四边形
两组对边分别平行
思考
由平行四边形的定义知：平行四边形的对边平行. 于是，平行四边形的相邻内角互为补角. 此外，平行四边形的边、角还有什么性质呢？
知识点二 平行四边形的性质
A
B
C
D
A
B
C
D
AD = 5.5 cm
BC = 5.5 cm
AD = BC
BA = 3.5 cm
CD = 3.5 cm
BA = CD
猜想 1：平行四边形的对边相等
A
B
C
D
∠A = 120°，
∠C = 120°，
∠A = ∠C ，
∠B = 60°，
∠D = 60°，
∠B = ∠D .
猜想 2：平行四边形的对角相等
猜想 1：平行四边形的对边相等
猜想 2：平行四边形的对角相等
你能证明这些猜想吗？
A
B
C
D
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB//DC，AD//BC.
求证：（1）AB = DC，AD = BC；
（2）∠DAB =∠DCB，∠B =∠D.
思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？
连接任意一条对角线即可.
证明 连接 AC .
（1）∵AB // DC，AD // BC，
∴∠BAC =∠DCA，∠BCA =∠DAC.
在△ABC 和 △CDA中，
∴△ABC≌△CDA.（ASA）
∴AB = DC，AD = BC.
∵
∠BCA=∠DAC，
AC = CA，
∠BAC =∠DCA.
A
B
C
D
平行四边形的对边相等
A
B
C
D
（2）由（1）知∠BAC =∠DCA，∠BCA =∠DAC.
∴∠BAC +∠DAC =∠DCA+∠BCA .
∴∠DAB = ∠DCB.
由（1）已证△ABC ≌△CDA.
∴∠B =∠D.
平行四边形的对角相等
如果不添加辅助线，你能证明题（2）吗？
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD // BC，AB // CD.
∴∠A + ∠B = 180°，
∠B + ∠C = 180°.
∴∠A = ∠C.
同理，∠B = ∠D.
A
B
C
D
平行四边形的对角相等
性质1 平行四边形的对边相等；
性质2 平行四边形的对角相等 .
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB = CD，BC = AD；
∠A = ∠C，∠B = ∠D.
归纳小结
在平行四边形ABCD中，
AB = CD，AD = BC.
∠A =∠C，∠B =∠D.
几何语言：
A
B
C
D
平行四边形的性质
例 1
如图，在□ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 AD 与点 E.
（1）如果 AE = 2，求 CD 的长；
（2）如果∠AEB = 40°，求∠C 的度数.
A
B
C
D
E
解 （1） ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE =∠EBC.
∵AD∥BC，∴∠EBC =∠AEB.
∴∠ABE =∠AEB.
∴ AB = AE = 2.
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD = AB = 2.
A
B
C
D
E
（2） 由（1）知∠ABE =∠AEB = 40°.
∴∠A = 180°– (40°+ 40°) = 100°.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C = ∠A = 100°.
A
B
C
D
E
练一练
在□ABCD 中，∠A = 60°，求∠B，∠C，∠D 的度数.
【教材P82练习 T2】
解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D，AB // CD，
∴∠A +∠D = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴∠C = ∠A = 60°，
∠B = ∠D = 180°– 60°= 120°.
例 2
已知：如图，过△ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△A'B'C'.
求证：△ABC 的顶点分别是△A'B'C' 三边的中点.
C
A'
C'
B'
B
A
分析：要证明点 A 是 B'C' 的中点，只要证明 AB' = AC'.
证明 ∵AB // B'C，BC // AB'，
∴四边形 ABCB' 为平行四边形.
∴ AB' = BC.
同理：AC' = BC.
∴ AB' = AC'.
同理：BC' = BA'，CA' = CB'.
∴ △ABC 的顶点分别是△A'B'C' 三边的中点.
C
A'
C'
B'
B
A
证明：在□ABCD 中，
∵ BC = 2AB，点 E 为边 BC 的中点，AB // CD，
∴ AB = BE = CE = CD，∠B +∠C = 180°.
∴∠BAE =∠BEA，∠CED =∠CDE.
∴∠BEA +∠CED
∴∠AED =180°– 90°= 90°
练一练
【教材P82练习 T3】
已知：在□ABCD 中，BC = 2AB，点 E 为边 BC 的中点.
求证：AE⊥ED.
C
A
D
B
E
即 AE⊥ED.
随堂练习
1. 如图，在□ABCD 中，EF // AB，GH // AD，EF 与 GH 交于点 O，则图中平行四边形共有（ ）.
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个
A
B
C
D
E
G
H
O
F
C
图中 EF 分出 2 个，
GH 分出 2 个，
EF 和 GH 分出 4 个，
加上 □ABCD，
共有 9 个平行四边形 .
2. 如图，在□ ABCD 中，下列各式不一定正确的是（ ）
A. ∠1 +∠2 = 180°
B. ∠2 +∠3 = 180°
C. ∠3 +∠4 = 180°
D. ∠2 +∠4 = 180°
D
3. 如图，□ ABCD 的一个外角为 38°，求∠A，∠B，∠BCD，∠D 的度数.
解： 在□ABCD中，AB // DC，
∴∠B =∠DCE = 38°，
∴∠B =∠D = 38°.
∵∠BCD +∠DCE = 180°，
∴∠A =∠BCD =180°– 38°= 142°.
4. 如图，在□ ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点.
求证：∠ADE =∠CBF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD.
∵E，F 分别是 AB，CD 的中点，
∴AE = AB，CF = CD. ∴AE = CF.
∴△AED≌△CFB(SAS).
∴ ∠ADE =∠CBF.
课堂小结
定义
性质
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
课后作业
完成练习册本课时的习题.

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